การเรียนรู้เชิงลึกพร้อมที่จะ ‘ระเบิด’ สมการของไหลที่มีชื่อเสียง

เป็นเวลากว่า 250 ปีที่นักคณิตศาสตร์พยายาม “ระเบิด” สมการที่สำคัญที่สุดบางสมการทางฟิสิกส์ นั่นคือสมการที่อธิบายว่าของไหลไหลอย่างไร หากพวกเขาประสบความสำเร็จ พวกเขาจะได้ค้นพบสถานการณ์สมมติที่สมการเหล่านั้นพังทลาย — กระแสน้ำวนที่หมุนอย่างรวดเร็วไม่สิ้นสุด บางที หรือกระแสที่หยุดและเริ่มต้นอย่างกะทันหัน หรืออนุภาคที่พัดผ่านเพื่อนบ้านอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด นอกเหนือจากจุดระเบิดนั้น – “ภาวะเอกฐาน” – สมการจะไม่มีคำตอบอีกต่อไป พวกเขาจะล้มเหลวในการอธิบายแม้แต่โลกในอุดมคติที่เราอาศัยอยู่ และนักคณิตศาสตร์จะมีเหตุผลให้สงสัยว่าพวกเขาสามารถพึ่งพาได้ในระดับสากลเพียงใดในฐานะแบบจำลองของพฤติกรรมของไหล

แต่ภาวะเอกฐานอาจลื่นพอๆ กับของเหลวที่พวกเขาต้องการจะอธิบาย ในการค้นหาสิ่งนี้ นักคณิตศาสตร์มักจะใช้สมการที่ควบคุมการไหลของของไหล ป้อนเข้าไปในคอมพิวเตอร์ และทำการจำลองแบบดิจิทัล พวกเขาเริ่มต้นด้วยชุดของเงื่อนไขเริ่มต้น จากนั้นดูจนกระทั่งค่าของปริมาณบางอย่าง เช่น ความเร็ว คำพูด หรือความหมุนวน (การวัดการหมุน) เริ่มเติบโตอย่างดุเดือด ดูเหมือนว่ากำลังจะระเบิด

ทว่าคอมพิวเตอร์ไม่สามารถระบุถึงภาวะเอกฐานได้อย่างชัดเจน ด้วยเหตุผลง่ายๆ ที่เครื่องไม่สามารถทำงานกับค่าอนันต์ได้ หากมีภาวะเอกฐาน แบบจำลองคอมพิวเตอร์อาจเข้าใกล้จุดที่สมการระเบิดขึ้น แต่ไม่สามารถเห็นได้โดยตรง อันที่จริงภาวะเอกฐานที่เห็นได้ชัดได้หายไปเมื่อตรวจสอบด้วยวิธีการคำนวณที่ทรงพลังกว่า

อย่างไรก็ตาม การประมาณดังกล่าวยังคงมีความสำคัญ นักคณิตศาสตร์สามารถใช้เทคนิคที่เรียกว่า Computer-assisted proof ด้วยมือข้างเดียวเพื่อแสดงให้เห็นว่ามีภาวะเอกฐานที่แท้จริงอยู่ใกล้ๆ พวกเขาได้ทำไปแล้วสำหรับปัญหา แบบง่ายในมิติ เดียว

ใน การพิมพ์ล่วงหน้าที่โพสต์ออนไลน์เมื่อต้นปีนี้ ทีมนักคณิตศาสตร์และนักธรณีวิทยาได้ค้นพบวิธีใหม่ทั้งหมดในการประมาณภาวะเอกฐาน ซึ่งเป็นรูปแบบที่ใช้ประโยชน์จากรูปแบบ การเรียนรู้เชิงลึก ที่พัฒนาขึ้นเมื่อเร็วๆ นี้ โดยใช้วิธีนี้ พวกเขาสามารถมองที่ภาวะเอกฐานโดยตรง พวกเขายังใช้มันเพื่อค้นหาภาวะเอกฐานที่หลบเลี่ยงวิธีการแบบเดิมๆ ด้วยความหวังว่าจะแสดงให้เห็นว่าสมการไม่ได้ผิดพลาดอย่างที่เห็น

งานนี้ได้เปิดตัวการแข่งขันเพื่อระเบิดสมการของไหล ด้านหนึ่งคือทีมการเรียนรู้เชิงลึก ในทางกลับกัน นักคณิตศาสตร์ที่ทำงานกับเทคนิคที่เป็นที่ยอมรับมากขึ้นมาหลายปี ไม่ว่าใครจะชนะการแข่งขัน — ถ้าใครสามารถเข้าเส้นชัยได้จริง — ผลลัพธ์แสดงให้เห็นว่า โครงข่ายประสาทเทียม สามารถช่วยเปลี่ยนการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาใหม่เพื่อคะแนนของปัญหาที่แตกต่างกันได้อย่างไร

ระเบิดที่หายไป

สมการที่ศูนย์กลางของงานใหม่นี้เขียนขึ้นโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ในปี ค.ศ. 1757 เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของของไหลในอุดมคติซึ่งไม่สามารถบีบอัดได้ ซึ่งเป็นของไหลที่ไม่มีความหนืด หรือแรงเสียดทานภายใน และไม่สามารถบีบให้มีขนาดเล็กลงได้ (ของเหลวที่มีความหนืด เช่นเดียวกับสารอื่นๆ ที่พบในธรรมชาติ ถูกจำลองโดยสมการของเนเวียร์-สโต๊คส์ แทน การปล่อยสิ่งเหล่านี้ออกไปจะได้รับ รางวัลมิลเลนเนียม 1 ล้านดอลลาร์ จากสถาบัน Clay Mathematics) เมื่อพิจารณาจากความเร็วของแต่ละอนุภาคใน ของไหล ณ จุดเริ่มต้น สมการออยเลอร์ควรทำนายการไหลของของไหลตลอดเวลา

แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการทราบว่าในบางสถานการณ์หรือไม่ แม้ว่าในตอนแรกอาจดูเหมือนไม่มีอะไรผิดปกติก็ตาม แต่สมการก็อาจเกิดปัญหาได้ในที่สุด (มีเหตุผลให้สงสัยว่าอาจเป็นกรณีนี้: ของไหลในอุดมคติที่พวกเขาจำลองไม่มีพฤติกรรมเหมือนของไหลจริงที่มีความหนืดเพียงเล็กน้อย การก่อตัวของภาวะเอกฐานในสมการออยเลอร์สามารถอธิบายไดเวอร์เจนซ์นี้ได้)

ในปี 2013 นักคณิตศาสตร์สองคนเสนอสถานการณ์ดังกล่าว เนื่องจากไดนามิกของการไหลของของไหลสามมิติเต็มรูปแบบอาจมีความซับซ้อนอย่าง เหลือเชื่อ Thomas Hou นักคณิตศาสตร์จาก California Institute of Technology และ Guo Luo ซึ่งปัจจุบันอยู่ที่มหาวิทยาลัย Hang Seng แห่งฮ่องกง ได้พิจารณากระแสที่เป็นไปตามสมมาตรบางอย่าง

ในการจำลอง ของเหลวจะหมุนอยู่ภายในถ้วยทรงกระบอก ของเหลวในถ้วยครึ่งบนหมุนตามเข็มนาฬิกา ในขณะที่ครึ่งล่างหมุนทวนเข็มนาฬิกา กระแสที่ตรงกันข้ามทำให้เกิดกระแสที่ซับซ้อนอื่น ๆ ที่วนขึ้นและลง ไม่นานพอ ณ จุดตามแนวพรมแดนที่กระแสน้ำตรงข้ามมาบรรจบกัน ความหมุนวนของของไหลจะระเบิด

แม้ว่าการสาธิตนี้จะให้หลักฐานที่น่าสนใจเกี่ยวกับภาวะเอกฐาน หากไม่มีหลักฐานก็เป็นไปไม่ได้ที่จะทราบแน่ชัดว่าเป็นภาวะหนึ่ง ก่อนงานของ Hou และ Luo การจำลองจำนวนมากเสนอภาวะเอกฐานที่อาจเกิดขึ้น แต่ส่วนใหญ่หายไปเมื่อทำการทดสอบในภายหลังในคอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังกว่า “คุณคิดว่ามี” วลาดิมีร์ สเวรั ค นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยมินนิโซตา กล่าว “จากนั้นคุณใส่มันบนคอมพิวเตอร์ที่ใหญ่กว่าที่มีความละเอียดดีกว่ามาก และสิ่งที่ดูเหมือนสถานการณ์ภาวะเอกฐานที่ดีกลับกลายเป็นว่าไม่เป็นเช่นนั้นจริงๆ”

นั่นเป็นเพราะวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ค่อนข้างจะจู้จี้จุกจิก พวกมันเสี่ยงต่อข้อผิดพลาดเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนเล็กน้อยที่สามารถสะสมได้ในแต่ละขั้นตอนของการจำลอง ชาร์ลี เฟ ฟเฟอร์แมน นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน กล่าวว่า “มันเป็นศิลปะที่ละเอียดอ่อนในการพยายามจำลองสถานการณ์ที่ดีบนคอมพิวเตอร์ของสมการออยเลอร์” “สมการมีความอ่อนไหวต่อข้อผิดพลาดเล็กๆ น้อยๆ ในตำแหน่งทศนิยมที่ 38 ของการแก้ปัญหา”

ถึงกระนั้น วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของ Hou และ Luo สำหรับภาวะเอกฐานก็ยังยืนหยัดในการทดสอบทุกครั้งที่ผ่านมา และมันเป็นแรงบันดาลใจให้กับงานที่เกี่ยวข้องมากมาย รวมถึง การพิสูจน์การระเบิดสำหรับเวอร์ชันที่อ่อนแอกว่า ของปัญหา “มันเป็นสถานการณ์ที่ดีที่สุดสำหรับการสร้างภาวะเอกฐาน” Sverak กล่าว “หลายคนรวมทั้งตัวฉันเองเชื่อว่าครั้งนี้เป็นภาวะเอกฐานที่แท้จริง”

เพื่อพิสูจน์การระเบิดอย่างเต็มที่ นักคณิตศาสตร์จำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่า เมื่อพิจารณาภาวะเอกฐานที่ใกล้เคียงกัน มีของจริงอยู่ใกล้เคียง พวกเขาสามารถเขียนคำกล่าวนั้นใหม่ได้ — ว่าคำตอบที่แท้จริงนั้นอาศัยอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของการประมาณ — ในแง่คณิตศาสตร์ที่แม่นยำ จากนั้นแสดงว่าเป็นจริงหากคุณสมบัติบางอย่างสามารถตรวจสอบได้ อย่างไรก็ตาม การตรวจสอบคุณสมบัติเหล่านั้นต้องใช้คอมพิวเตอร์อีกครั้ง คราวนี้ เพื่อทำการคำนวณเป็นชุด (ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ) และเพื่อควบคุมข้อผิดพลาดที่อาจสะสมอยู่ในกระบวนการอย่างระมัดระวัง

Hou และนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา Jiajie Chen กำลังทำงานเพื่อพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยมาหลายปีแล้ว พวกเขาได้ปรับแต่งวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณจากปี 2013 (ในผลลัพธ์ขั้นกลางที่พวกเขายังไม่ได้เปิดเผยต่อสาธารณะ) และตอนนี้กำลังใช้การประมาณนั้นเป็นพื้นฐานสำหรับการพิสูจน์ใหม่ของพวกเขา พวกเขายังแสดงให้เห็นด้วยว่ากลยุทธ์ทั่วไปนี้สามารถใช้ได้กับปัญหาที่แก้ได้ง่ายกว่าสมการออยเลอร์

ตอนนี้อีกกลุ่มได้เข้าร่วมการล่าแล้ว พวกเขาพบค่าประมาณของตนเอง ซึ่งใกล้เคียงกับผลลัพธ์ของ Hou และ Luo โดยใช้แนวทางที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง พวกเขากำลังใช้มันเพื่อเขียนหลักฐานโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย แต่เพื่อให้ได้ค่าประมาณ พวกเขาต้องหันไปใช้การเรียนรู้เชิงลึกรูปแบบใหม่ก่อน

Glacial Neural Networks

Tristan Buckmaster นักคณิตศาสตร์ที่ Princeton ได้พบกับแนวทางใหม่นี้โดยบังเอิญ ปีที่แล้ว Charlie Cowen-Breen นักศึกษาระดับปริญญาตรีในแผนกของเขา ขอให้เขาลงนามในโครงการ Cowen-Breen กำลังศึกษาพลวัตของแผ่นน้ำแข็งในทวีปแอนตาร์กติกาภายใต้การดูแลของ Ching-Yao Lai นักธรณีฟิสิกส์แห่งพรินซ์ตัน โดยใช้ภาพถ่ายดาวเทียมและการสังเกตการณ์อื่นๆ พวกเขาพยายามอนุมานความหนืดของน้ำแข็งและทำนายการไหลของน้ำแข็งในอนาคต แต่ในการทำเช่นนั้น พวกเขาอาศัยแนวทางการเรียนรู้เชิงลึกที่ Buckmaster ไม่เคยเห็นมาก่อน

ไม่เหมือนกับโครงข่ายประสาทเทียมแบบเดิมที่ได้รับการฝึกอบรมเกี่ยวกับข้อมูลจำนวนมากเพื่อทำการคาดการณ์ “โครงข่ายประสาทเทียมที่ได้รับข้อมูลด้านฟิสิกส์” หรือ PINN จะต้องเป็นไปตามชุดของข้อจำกัดทางกายภาพด้วยเช่นกัน สิ่งเหล่านี้อาจรวมถึงกฎการเคลื่อนที่ การอนุรักษ์พลังงาน อุณหพลศาสตร์ สิ่งใดก็ตามที่นักวิทยาศาสตร์อาจจำเป็นต้องเข้ารหัสสำหรับปัญหาเฉพาะที่พวกเขากำลังพยายามแก้ไข