คณิตศาสตร์ใหม่ของการย่น

Zenzeta/Shutterstock

ไม่กี่นาทีในการพูดคุยปี 2018 ที่มหาวิทยาลัยมิชิแกน เอียน โทบาสโก หยิบกระดาษแผ่นใหญ่ขึ้นมาและขยำมันให้เป็นก้อนแห่งความโกลาหลที่ดูไม่เป็นระเบียบ เขายกขึ้นให้คนดูดู บีบให้พอประมาณ แล้วกางออกอีกครั้ง

“ผมเจอรอยพับจำนวนมาก และนั่นคือปริศนา” เขากล่าว “อะไรเลือกรูปแบบนี้จากรูปแบบอื่นที่เป็นระเบียบมากกว่า”

จากนั้นเขาก็หยิบกระดาษแผ่นใหญ่แผ่นที่สองขึ้นมา ซึ่งแผ่นนี้พับไว้ล่วงหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีชื่อเสียงของโอริกามิที่รู้จักกันในชื่อ มิอุระ-โอริ แล้วกดให้เรียบ เขาใช้แรงที่ใช้กับกระดาษแต่ละแผ่นเท่ากัน แต่ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่แตกต่างกันมากไปกว่านี้ มิอุระโอริถูกแบ่งออกเป็นบริเวณเรขาคณิตอย่างเรียบร้อย ลูกบอลยู่ยี่เป็นเส้นหยัก

“คุณคงรู้สึกว่าสิ่งนี้” เขากล่าว โดยชี้ไปที่การจัดเรียงของรอยยับบนกระดาษยู่ยี่ “เป็นเพียงรูปแบบที่ไม่เป็นระเบียบแบบสุ่มของสิ่งนี้” เขาระบุมิอุระโอริที่เรียบร้อยและเป็นระเบียบ “แต่เราไม่ได้พิจารณาว่ามันเป็นเรื่องจริงหรือไม่”

การเชื่อมต่อนั้นไม่ต้องการอะไรมากไปกว่าการสร้างกฎทางคณิตศาสตร์สากลของรูปแบบยืดหยุ่น Tobasco ดำเนินการเรื่องนี้มาหลายปีแล้ว โดยศึกษาสมการที่อธิบายวัสดุยืดหยุ่นบาง ซึ่งเป็นสิ่งที่ตอบสนองต่อการเสียรูปโดยพยายามดึงกลับเป็นรูปร่างเดิม ดันลูกโป่งให้แรงพอและรูปแบบแฉกของรอยยับในแนวรัศมีจะเกิดขึ้น เอานิ้วของคุณออกและพวกเขาจะเรียบขึ้นอีกครั้ง บีบกระดาษยู่ยี่แล้วมันจะขยายตัวเมื่อคุณปล่อยมัน (แม้ว่าจะไม่ทำให้ยู่ยี่ทั้งหมด) วิศวกรและนักฟิสิกส์ได้ศึกษาว่ารูปแบบเหล่านี้เกิดขึ้นได้อย่างไรภายใต้สถานการณ์บางอย่าง แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์เชิงปฏิบัติเหล่านั้นชี้ให้เห็นถึงคำถามพื้นฐานที่มากขึ้น: โดยทั่วไปแล้ว เป็นไปได้ไหมที่จะเข้าใจสิ่งที่เลือกรูปแบบหนึ่งแทนที่จะเป็นแบบอื่น

Wrinkling_560-Desktop4.svg

พวกเขาสงสัยว่าความโค้งแบบเกาส์เซียนมีความสำคัญต่อการย่น แต่เวลลากล่าวว่าน่าประหลาดใจที่โดเมนต้องพึ่งพาป้ายเป็นอย่างมาก ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีของ Tobasco ยังนำไปใช้กับวัสดุยืดหยุ่นที่หลากหลาย ไม่ใช่แค่รูปแบบของ Paulsen “เป็นโครงสร้างทางเรขาคณิตที่ดีซึ่งแสดงให้เห็นว่าริ้วรอยจะปรากฏที่ใด” เวลลากล่าว “แต่การเข้าใจว่ามันมาจากไหนนั้นลึกซึ้งและน่าประหลาดใจ”

พอลเซ่นตกลง “สิ่งที่ทฤษฎีของ Ian ทำได้อย่างสวยงามมากคือการให้รูปแบบทั้งหมดแก่คุณในคราวเดียว”

ริ้วรอยในชีวิตจริง

ในช่วงต้นปี 2018 Tobasco ได้ตัดสินทฤษฎีของเขาเป็นส่วนใหญ่ – แต่ถึงแม้ว่ามันจะทำงานบนกระดาษ แต่เขาก็ไม่อาจแน่ใจได้ว่าทฤษฎีนี้จะแม่นยำในโลกแห่งความเป็นจริง Tobasco ติดต่อ Paulsen และถามว่าเขาสนใจที่จะทำงานร่วมกันหรือไม่ “บางอย่างก็ใช้การได้ในทันที” Paulsen กล่าว “ด้วยการคาดคะเนของเอียน วางบนภาพทดลอง เราสามารถเห็นได้ทันทีว่าพวกเขาเข้าแถว”

ในการประชุม Society for Industrial and Applied Mathematics Conference on Mathematical Aspects of Materials Science ในปีนั้น Tobasco ได้รับการแนะนำให้รู้จักกับ Eleni Katifori นักฟิสิกส์จากมหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนียที่กำลังสำรวจปัญหาของรูปแบบรอยย่นในเปลือกที่แคบและสร้างฐานข้อมูลของผลลัพธ์ มันเป็นช่วงเวลาแห่งความบังเอิญ “เราสามารถเห็นโดเมน [ในการจำลอง] ที่งานของเอียนอธิบาย” เธอกล่าว การแข่งขันเป็นเรื่องน่าพิศวง แม้แต่ในระหว่างการอภิปรายครั้งแรก ก็เห็นได้ชัดว่าทฤษฎีของ Tobasco ภาพการทดลองของ Paulsen และการจำลองของ Katifori ล้วนบรรยายปรากฏการณ์เดียวกัน “แม้ในช่วงแรกๆ เมื่อเราไม่มีอะไรเป็นรูปธรรม เราก็เห็นความเชื่อมโยงได้”

ความตื่นเต้นในช่วงแรกนั้นทำให้เกิดความสงสัยอย่างรวดเร็ว ดูเหมือนเกือบจะดีเกินกว่าจะเป็นจริงได้ Paulsen กล่าวว่า “เขาเป็นนักคณิตศาสตร์และทำทุกอย่างที่ไม่ใช่มิติ” กล่าวถึงแนวคิดของ Tobasco เกี่ยวกับความโค้งที่สามารถขยายออกไปได้ไกลกว่าวัสดุแบนสองมิติ “เรากำลังมองระบบเดียวกันอยู่จริงหรือ? มันตกลง แต่มันควรจะตกลงหรือไม่”

ในอีกสองปีข้างหน้า นักวิจัยทั้งสามคนได้ขุดค้นรายละเอียด ซึ่งแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีของ Tobasco ได้ทำนายไว้จริงๆ ซึ่งก็คือการจัดเรียงของรอยย่นที่ Paulsen เห็นในการทดลองของเขา และ Katifori พบในแบบจำลองคอมพิวเตอร์ของเธอ เมื่อวันที่ 25 สิงหาคม พวกเขาได้ตีพิมพ์บทความใน Nature Physics ที่ แสดงให้เห็น ว่าทั้งสามวิธีมาบรรจบกันในการจัดเรียงรอยย่นทางเรขาคณิตที่เหมือนกันและตรงไปตรงมา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกเขาพบว่ารูปแบบต่างๆ ตกอยู่ในกลุ่มสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เรียบร้อยซึ่งแบ่งเขตโดเมนของระเบียบและระเบียบ นอกจากนี้ ผลลัพธ์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่การสรุปทางคณิตศาสตร์ของวัสดุที่บางอย่างไม่น่าเชื่อ แต่ระบุลำดับความสำคัญหลายระดับของความหนา

งานของพวกเขายังชี้ให้เห็นโอกาสในการขยายทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ Katifori กล่าวว่าในฐานะนักฟิสิกส์ เธอสนใจที่จะใช้การคาดการณ์เพื่อออกแบบวัสดุใหม่ “ฉันต้องการทำความเข้าใจว่าคุณสามารถออกแบบพื้นผิวได้อย่างไร เพื่อให้พวกเขาจัดระเบียบรูปแบบการย่นด้วยตัวเองเป็นสิ่งที่คุณต้องการ”

คำถามเปิดอีกประการหนึ่งคือโดยทั่วไปทฤษฎีนี้สามารถนำไปใช้กับพื้นผิวโค้งประเภทต่างๆ ได้อย่างไร “มันเน้นมากกับสถานการณ์ที่ [ความโค้งแบบเกาส์เซียน] เป็นบวกหรือลบ แต่ก็มีสถานการณ์มากมายในบางภูมิภาคที่เป็นบวกและลบบางส่วน” เวลลากล่าว

Paulsen เห็นด้วยว่านี่เป็นความเป็นไปได้ที่น่าตื่นเต้น และ Tobasco กล่าวว่าเขากำลังทำงานอย่างแข็งขันในพื้นที่นี้และพิจารณาเปลือกหอยรูปทรงอื่นๆ เช่น เปลือกหอยที่มีรู

แต่พอลเซ่นกล่าวว่าทฤษฏีนี้แม้จะเป็นอยู่ในปัจจุบันก็ยังสวยงามและน่าประหลาดใจ “ถ้าฉันให้เปลือกและรูปร่างขอบเขตแก่คุณ และชุดกฎง่ายๆ ที่ทฤษฎีของเอียนทำนายไว้ คุณก็สามารถใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด แล้ววาดรอยยับได้” เขากล่าว “มันจะต้องไม่เกิดขึ้นแบบนั้น มันอาจจะน่ากลัวโดยสิ้นเชิง”

ใส่ความเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น