‘ปัญหาที่เก่าที่สุด’ ของคณิตศาสตร์ได้รับคำตอบใหม่

นักทฤษฎีจำนวนมักจะมองหาโครงสร้างที่ซ่อนอยู่ และเมื่อต้องเผชิญกับรูปแบบตัวเลขที่ดูเหมือนหลีกเลี่ยงไม่ได้ พวกเขาจะทดสอบความกล้า พยายามอย่างหนัก และมักจะล้มเหลว เพื่อสร้างสถานการณ์ที่ไม่สามารถปรากฏรูปแบบที่กำหนดได้

หนึ่งใน ผลลัพธ์ล่าสุด ที่แสดงให้เห็นถึงความยืดหยุ่นของรูปแบบดังกล่าว โดย Thomas Bloom จาก University of Oxford ได้ตอบคำถามที่มีรากเหง้าที่ขยายไปถึงอียิปต์โบราณ

“มันอาจจะเป็นปัญหาที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่เคยมีมา” Carl Pomerance จาก Dartmouth College กล่าว

คำถามเกี่ยวข้องกับเศษส่วนที่มี 1 ในตัวเศษเช่น , หรือ . “เศษส่วนหน่วย” เหล่านี้มีความสำคัญเป็นพิเศษสำหรับชาวอียิปต์โบราณเนื่องจากเป็นเศษส่วนประเภทเดียวที่มีอยู่ในระบบตัวเลข: ยกเว้นสัญลักษณ์เดียวสำหรับ , พวกเขาสามารถแสดงเศษส่วนที่ซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น (เช่น ) เป็นผลรวมของเศษส่วนหน่วย ( + ).

ความสนใจในยุคปัจจุบันในจำนวนเงินดังกล่าวได้เพิ่มขึ้นในปี 1970 เมื่อ Paul Erdős และ Ronald Graham ถามถึงความยากลำบากเพียงใดที่จะสร้างชุดของจำนวนเต็มที่ไม่มีเซตย่อยที่มีส่วนกลับรวมกันเป็น 1 ตัวอย่างเช่น ชุดที่ {2, 3, 6, 9, 13} ไม่ผ่านการทดสอบนี้: ประกอบด้วยชุดย่อย {2, 3, 6} ซึ่งส่วนกลับเป็นเศษส่วนหน่วย , และ – ซึ่งรวมเป็น 1

ม้วนกระดาษทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า Rhind Papyrus ซึ่งมีอายุย้อนไปถึงราว 1650 ก่อนคริสตศักราช แสดงให้เห็นว่าชาวอียิปต์โบราณแสดงจำนวนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนหน่วยได้อย่างไร

เมื่อจัดเรียงตัวเลขลงในที่เก็บข้อมูล Croot ต้องการหลบเลี่ยงตัวเลขที่มีปัจจัยเฉพาะจำนวนมาก ส่วนกลับของตัวเลขเหล่านั้นมักจะบวกกับเศษส่วนที่มีตัวส่วนมาก แทนที่จะลดให้เป็นเศษส่วนที่เรียบง่ายกว่าซึ่งรวมกันเป็น 1 ได้ง่ายขึ้น ดังนั้น Croot พิสูจน์ว่าหากเซตมีจำนวนจำนวนเพียงพอพร้อมตัวประกอบเฉพาะที่ค่อนข้างเล็กจำนวนมาก มันจะต้องเสมอ มีเซตย่อยที่มีส่วนกลับเพิ่มเป็น 1

Croot แสดงให้เห็นว่าถังอย่างน้อยหนึ่งถังตอบสนองคุณสมบัตินั้นเสมอซึ่งเพียงพอที่จะพิสูจน์ผลการระบายสี แต่ในเวอร์ชันความหนาแน่นทั่วไป นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถเลือกที่ฝากข้อมูลที่สะดวกที่สุดได้ พวกเขาอาจต้องหาวิธีแก้ปัญหาในถังที่ไม่มีตัวเลขที่มีตัวประกอบเฉพาะน้อย ในกรณีนี้ วิธีของ Croot จะไม่ทำงาน

“มันเป็นสิ่งที่ฉันไม่สามารถไปไหนมาไหนได้” Croot กล่าว

แต่สองทศวรรษต่อมา ขณะที่ Bloom กำลังเตรียมนำเสนอบทความของ Croot ให้กับกลุ่มการอ่านของเขา เขาตระหนักว่าเขาสามารถใช้ประโยชน์จากเทคนิคที่ Croot ได้แนะนำได้มากยิ่งขึ้น

“ฉันคิดว่าเดี๋ยวก่อน วิธีการของ Croot [นั้น] แข็งแกร่งกว่าที่เคยเป็นมา” บลูมกล่าว “ดังนั้นฉันจึงเล่นมาสองสามสัปดาห์ และผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่านี้ก็ออกมาจากมัน”

หลักฐานของ Croot อาศัยประเภทของอินทิกรัลที่เรียกว่าผลรวมเลขชี้กำลัง เป็นนิพจน์ที่สามารถตรวจจับได้ว่ามีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มจำนวนเท่าใดสำหรับปัญหา ในกรณีนี้ จำนวนชุดย่อยที่มีผลรวมของเศษส่วนของหน่วยที่เท่ากับ 1 แต่มีสิ่งที่จับได้: แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะแก้ผลรวมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเหล่านี้อย่างแน่นอน แม้แต่การประมาณค่าพวกมันก็ยังทำได้ยาก

ค่าประมาณของ Croot ทำให้เขาสามารถพิสูจน์ได้ว่าอินทิกรัลที่เขาทำงานด้วยนั้นเป็นค่าบวก ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่หมายความว่ามีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งอย่างในชุดเริ่มต้นของเขา

Christian Elsholtz จาก Graz University of Technology ในออสเตรีย กล่าวว่า “เขาแก้ปัญหาด้วยวิธีโดยประมาณ ซึ่งดีพอ”

Bloom ปรับกลยุทธ์ของ Croot เพื่อให้ทำงานกับตัวเลขที่มีปัจจัยเฉพาะจำนวนมาก แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องฝ่าฟันอุปสรรคต่างๆ ซึ่งทำให้ยากต่อการพิสูจน์ว่าผลรวมเลขชี้กำลังมากกว่าศูนย์

ทั้ง Croot และ Bloom แยกอินทิกรัลออกเป็นส่วน ๆ และพิสูจน์ว่าคำศัพท์หลักหนึ่งคำมีขนาดใหญ่และเป็นบวก และคำศัพท์อื่น ๆ ทั้งหมด (ซึ่งบางครั้งอาจเป็นค่าลบ) นั้นเล็กเกินไปที่จะสร้างความแตกต่างที่มีความหมาย

โทมัส บลูม จากมหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ดศึกษาปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับการผสมผสานทางคณิตศาสตร์ ซึ่งรวมถึงปัญหาเกี่ยวกับรูปแบบตัวเลขทั่วไปที่อาจเป็นไปได้

แต่ในขณะที่ Croot ไม่สนใจจำนวนเต็มที่มีตัวประกอบเฉพาะขนาดใหญ่เพื่อพิสูจน์ว่าพจน์เหล่านั้นมีขนาดเล็กเพียงพอ วิธีการของ Bloom ทำให้เขาควบคุมส่วนต่างๆ ของผลรวมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลได้ดีขึ้น และทำให้มีพื้นที่ว่างมากขึ้นเมื่อต้องรับมือกับตัวเลขที่อาจสร้างปัญหา . ผู้ก่อปัญหาดังกล่าวยังคงสามารถขัดขวางการแสดงให้เห็นว่าคำที่กำหนดนั้นเล็ก แต่ Bloom พิสูจน์ว่ามีสถานที่ค่อนข้างน้อยที่เกิดเหตุการณ์นั้นขึ้น

Greg Martin แห่งมหาวิทยาลัยบริติชโคลัมเบียกล่าวว่า “เรากำลังประมาณผลรวมเลขชี้กำลังอยู่เสมอ “แต่เมื่อตัวชี้กำลังมีพจน์มากมาย การมองโลกในแง่ดีต้องอาศัยการเชื่อมั่นว่าคุณจะพบวิธีประมาณค่า [มัน] และแสดงให้เห็นว่า [มัน] ยิ่งใหญ่และเป็นไปในทางบวก”

แทนที่จะใช้วิธีนี้เพื่อค้นหาชุดของตัวเลขที่มีส่วนกลับรวมกันเป็น 1 Bloom ใช้วิธีนี้เพื่อค้นหาชุดที่มีส่วนกลับซึ่งรวมกันเป็นเศษส่วนที่มีขนาดเล็กกว่า จากนั้นเขาก็ใช้สิ่งเหล่านี้เป็นพื้นฐานเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

“คุณไม่พบ 1 อย่างตรงไปตรงมา” บลูมกล่าว “คุณกำลังพบว่าบางที แต่ถ้าคุณทำสามครั้งในสามวิธีที่ต่างกัน ก็แค่รวมเข้าด้วยกันและคุณจะได้ 1”

นั่นทำให้เขามีคำพูดที่ชัดเจนขึ้นมากว่ารูปแบบตัวเลขนี้แข็งแกร่งเพียงใด: ตราบใดที่ชุดประกอบด้วยเศษไม้เล็กๆ แต่ใหญ่เพียงพอ — ไม่ว่าเศษไม้นั้นจะมีลักษณะอย่างไร — เป็นไปไม่ได้ที่จะหลีกเลี่ยงการหาผลรวมที่เรียบร้อยเหล่านี้ ของเศษส่วนหน่วย

“มันเป็นผลลัพธ์ที่โดดเด่น” Izabella Łaba จากมหาวิทยาลัยบริติชโคลัมเบียกล่าว “ทฤษฎีจำนวนเชิงผสมและเชิงวิเคราะห์มีวิวัฒนาการอย่างมากในช่วง 20 ปีที่ผ่านมา ทำให้สามารถกลับมามีปัญหาเดิมด้วยมุมมองใหม่และวิธีการทำสิ่งต่างๆ อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น”

ในขณะเดียวกัน ยังปล่อยให้นักคณิตศาสตร์มีคำถามใหม่ที่ต้องแก้ คราวนี้เกี่ยวกับเซตที่ไม่สามารถหาผลรวมของเศษส่วนของหน่วยที่เท่ากับ 1 ได้ จำนวนเฉพาะคือตัวอย่างหนึ่ง ไม่มีชุดย่อยของจำนวนเฉพาะที่ผลรวมส่วนกลับ ถึง 1 — แต่คุณสมบัตินี้สามารถเป็นจริงได้สำหรับเซตอนันต์อื่นๆ ที่ “ใหญ่กว่า” ในแง่ที่ว่าผลรวมของส่วนกลับของพวกมันเข้าใกล้อนันต์เร็วกว่าส่วนกลับของจำนวนเฉพาะที่ทำ จำนวนเงินเหล่านั้นจะเติบโตได้เร็วเพียงใดก่อนที่โครงสร้างที่ซ่อนอยู่จะกลับมารวมกันอีกครั้ง และส่วนกลับบางส่วนจะเพิ่มเป็น 1 อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

“การคาดเดาของ Erdős-Graham เป็นคำถามที่เป็นธรรมชาติมาก แต่ก็ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์” Petridis กล่าว