Tim Large เป็นจูเนียร์เฟลโลว์กับ Simons Society of Fellowsในระยะใกล้ พื้นผิวของลูกบอลชายหาดจะไม่มีลักษณะกลมแต่แบน พื้นผิวของยางในก็เช่นกัน แม้ว่าวัตถุเหล่านี้จะดูไม่มีอะไรเหมือนกันก็ตาม ในทางคณิตศาสตร์ อุปกรณ์เสริมสำหรับฤดูร้อนทั้งสองนี้สามารถจำแนกได้เป็นท่อร่วมสองมิติ: เฉพาะที่มีลักษณะเหมือนกัน แต่เมื่อคุณซูมออกและมองดูอย่างครบถ้วน พวกมันจะแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด การทำความเข้าใจคุณสมบัติที่กำหนดความแตกต่างเหล่านี้ ทั้งสำหรับตัวอย่างเหล่านี้และสำหรับตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้น เป็นประเด็นหลักของเรขาคณิตสมัยใหม่
อย่างไรก็ตาม ไม่มีการศึกษาทางเรขาคณิตใด ๆ ที่ศึกษาในสุญญากาศ Simons Junior Fellow Tim Large กล่าว แทนที่จะเน้นองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องที่ให้ความเข้าใจเพิ่มเติม ในกรณีของ Large นี่หมายถึงการมุ่งเน้นที่ท่อร่วมเชิงแสดงซึ่งเกี่ยวข้องโดยตรงกับทฤษฎีการเคลื่อนที่ของนิวตันและการพยายามทำความเข้าใจการเคลื่อนที่ของอนุภาคในพื้นที่โค้ง ในขณะที่กลศาสตร์ของนิวตันมีอายุมากกว่า 300 ปี เรขาคณิตเชิงสมมาตรได้เข้ามามีบทบาทภายในไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมา ผ่านการพัฒนาและการประยุกต์ใช้ทางทฤษฎีใหม่ๆ กับฟิสิกส์ควอนตัมและสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์
Large สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีจากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์และปริญญาเอก จากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ ตอนนี้เขากำลังสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยโคลัมเบียภายใต้การให้คำปรึกษาของ Mohammed Abouzaid
บิ๊กและฉันเพิ่งพูดถึงงานของเขาและความหมายของมัน การสนทนาของเราได้รับการแก้ไขเพื่อความชัดเจน
ท่อร่วมเชิงซ้อนคืออะไร?
ท่อร่วมแบบสมมาตรมีคำจำกัดความทางเทคนิคที่อาจดูแปลกประหลาดแม้กระทั่งสำหรับนักคณิตศาสตร์ แต่ก็มีอยู่ทุกหนทุกแห่ง ตั้งแต่ฟิสิกส์พื้นฐานไปจนถึงทฤษฎีสตริงที่ซับซ้อน
เพื่ออธิบาย ให้เปิดไปที่ฟิสิกส์ 101: การเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม ถ้าเรารู้ตำแหน่งเชิงมุมและโมเมนตัมของลูกตุ้ม เราก็สามารถทำนายการเคลื่อนที่ของมันได้ ตำแหน่งเชิงมุมและโมเมนต์ต่างๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของลูกตุ้มที่นำมารวมกันเป็นท่อร่วมสองมิติ ซึ่งเราเรียกว่าสเปซสเปซ
การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มถูกแปลเป็นสเปซสเปซอย่างไร เครดิต: Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundationระยะใกล้จะดูเหมือนระนาบแบน แต่มีรูปทรงกระบอกสำหรับรูปร่างของมัน: ถ้าเราหมุนลูกตุ้ม 360 องศา เราจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น นี่เป็นหนึ่งในตัวอย่างพื้นฐานที่สุดของท่อร่วมเชิงแสดงตัวอย่าง ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ได้แก่ การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์รอบดาวฤกษ์ ท่อร่วมเชิงสมมาตรมีความสำคัญอย่างยิ่งในการช่วยให้เข้าใจสมการของนิวตันเนื่องจากสัมพันธ์กับแรงโน้มถ่วง
บอกฉันเกี่ยวกับตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นของท่อร่วมเชิงสัญลักษณ์
หลากหลายรูปแบบที่ปรากฏให้เห็นทั่วทั้งคณิตศาสตร์และฟิสิกส์สมัยใหม่ ตัวอย่างเช่น หลักสมมุติฐานประการหนึ่งของทฤษฎีสตริงคือจักรวาลมาพร้อมกับมิติพิเศษ (ปกติหก) ที่เล็กเกินกว่าที่แม้แต่กล้องจุลทรรศน์อะตอมจะมองเห็น มิติพิเศษเหล่านี้ถูกรวมเข้าด้วยกันเป็นท่อร่วมพิเศษชนิดพิเศษที่เรียกว่าท่อร่วม Calabi-Yau ซึ่งสามารถเปิดเผยข้อมูลใหม่เกี่ยวกับอนุภาคที่สังเกตได้ในจักรวาลที่รู้จัก
กลุ่มตัวอย่างแบบเดียวกันที่ปรากฏในทฤษฎีสตริงยังปรากฏอยู่ในเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต ซึ่งเป็นพื้นที่ที่แตกต่างกันมากของคณิตศาสตร์ล้วนๆ ซึ่งเน้นที่ช่องว่างและรูปร่างที่กำหนดโดยสมการพหุนาม ช่องว่างเกี่ยวกับพีชคณิตบางแห่งมี ‘กระจก’ ที่หลากหลายซ่อนอยู่ ในกรณีเหล่านี้ ทฤษฎีสตริงของท่อร่วมกระจกเข้ารหัสข้อมูลจำนวนมหาศาลเกี่ยวกับพีชคณิตของพื้นที่ดั้งเดิม
นักคณิตศาสตร์เรียกปรากฏการณ์นี้ว่าสมมาตรสะท้อนกลับ เพราะมันช่วยให้เราสามารถหาโจทย์พีชคณิต มองในมุมที่ต่างออกไป และดูเรขาคณิตเชิงสมมาตรที่น่าประหลาดใจ แนวคิดนี้เป็นส่วนที่มีอิทธิพลของเรขาคณิตและฟิสิกส์เชิงทฤษฎีในช่วง 30 ปีที่ผ่านมา และฉันหวังว่าเรขาคณิตเชิงสมมาตรจะมีบทบาทมากขึ้นในศตวรรษหน้า ขณะที่เราพัฒนาความเข้าใจเชิงทดลองที่ดีขึ้นเกี่ยวกับโครงสร้างพื้นฐานของจักรวาลของเรา
อะไรดึงดูดให้คุณศึกษาเกี่ยวกับท่อร่วมและเรขาคณิตเชิงสมมาตร
สิ่งที่ทำให้ฉันตื่นเต้นจริงๆ เกี่ยวกับท่อร่วมที่มีลักษณะเฉพาะก็คือ สำหรับสถานที่ต่างๆ ที่มีอยู่ เรารู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับพวกมัน เป็นวิชาที่อายุน้อย เมื่อเทียบกับวิชาอื่นๆ เช่น แมนิโฟลด์เกี่ยวกับพีชคณิต ซึ่งมีชุดเครื่องมือที่เป็นที่ยอมรับซึ่งนักคณิตศาสตร์ใช้ในการศึกษามานาน
ชุดเครื่องมือพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงสมมาตรนั้นยังอยู่ในระหว่างการพัฒนา แม้ว่าจะมีการพิสูจน์แล้วว่าประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทใหม่แล้วก็ตาม สิ่งหนึ่งที่ฉันชอบมากที่สุดเกี่ยวกับการทำงานในหัวข้อนี้คือ ในการสร้างเครื่องมือใหม่เหล่านี้ ฉันต้องดึงความรู้จากสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย ตั้งแต่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วนไปจนถึงทฤษฎีโฮโมโทปี ความหลากหลายขององค์ประกอบเชิงประจักษ์อยู่ที่จุดตัดของส่วนต่างๆ ของคณิตศาสตร์ร่วมสมัย
คุณช่วยอธิบายเกี่ยวกับเครื่องมือและทฤษฎีบทเหล่านั้นให้ละเอียดขึ้นได้ไหม
ตัวอย่างที่ฉันโปรดปรานอย่างหนึ่งย้อนกลับไปที่ลูกตุ้ม ลูกตุ้มเคลื่อนที่เป็นระยะ หมายความว่าพวกมันกลับมายังจุดเริ่มต้นด้วยโมเมนตัมเดียวกัน นี่เป็นเพียงอุบัติเหตุที่น่ายินดีของคำตอบที่ชัดเจนของสมการของนิวตัน หรือเป็นส่วนหนึ่งของการปรากฎของโทโพโลยีทรงกระบอกของพื้นที่เฟสของลูกตุ้มหรือไม่ ในทศวรรษที่ 1960 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย วลาดิมีร์ อาร์โนลด์ ถามคำถามนี้โดยทั่วไป: เมื่อใดจะมีคำตอบเป็นระยะสำหรับสมการของนิวตันในปริภูมิของเฟสเชิงสมมาตรของระบบกลไกแบบคลาสสิกใดๆ เขาคาดคะเนว่าการมีอยู่ของคำตอบเป็นระยะต้องขึ้นอยู่กับโทโพโลยีทั่วโลกของท่อร่วมเชิงเดี่ยว
มุมมองสมัยใหม่ของเรขาคณิตเชิงสมมาตรเริ่มต้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Andreas Floer ในทศวรรษ 1980 ประมาณ 20 ปีหลังจากการคาดเดาของ Arnold แทนที่จะคิดถึงพลวัตในแง่ของจุดที่ลากเส้นบนท่อร่วมที่ซับซ้อน Floer มองเห็นลูปหรือสตริงที่กวาดพื้นผิวภายในท่อร่วม มากเท่ากับที่นักทฤษฎีสตริงทำ ในขณะที่การเคลื่อนที่ของอนุภาคถูกกำหนดโดยสมการของนิวตัน ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา พื้นผิวเหล่านี้ต้องเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ซับซ้อนกว่ามาก
ตั้งแต่แรกเห็น สิ่งนี้ทำให้ปัญหาซับซ้อนมากขึ้นเนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยมักจะแก้ได้ยากกว่ามาก แต่ Floer แสดงให้เห็นอย่างชาญฉลาดว่าคำถามทางอ้อมเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการเหล่านี้ เช่น การมีอยู่และการไม่มีของคำตอบ หรือรูปแบบของช่องว่างประเภทใดของโซลูชันใกล้เคียง เข้ารหัสโทโพโลยีส่วนใหญ่ของท่อร่วมเชิงเดี่ยว เขากำหนดค่าคงที่พีชคณิตของ manifolds เชิงเดี่ยวบางประเภท ซึ่งตอนนี้เราเรียกว่า Floer homology และใช้มันเพื่อพิสูจน์การคาดเดาของ Arnold หลายประการ
นับตั้งแต่เปิดตัว ความคล้ายคลึงของ Floer ได้กลายเป็นศูนย์กลางของเรขาคณิตเชิงสมมาตร มีงานมากมายในการขยายคำจำกัดความเพื่อนำไปใช้กับท่อร่วมที่หลากหลาย เพื่อค้นหาความหมายในบริบทของความสมมาตรของกระจก และเพื่อเพิ่มขีดความสามารถในการดูโทโพโลยีของท่อร่วมเชิงแสดงมากขึ้น
งานของคุณสร้างขึ้นบนความคล้ายคลึงกันของ Floer อย่างไร?
ความคล้ายคลึงกันนั้นมีอายุเกือบ 100 ปีแล้ว น่าจะเป็นตัวชี้วัดพื้นฐานที่สุดว่าท่อร่วมหนึ่งมีกี่หลุม มันจะบอกคุณว่าลูกบอลชายหาดไม่มีรู เช่น ยางในมีหนึ่งรู แต่นี่กลับกลายเป็นวิธีคร่าวๆ ในการดูหลายๆ ด้าน และมีวิธีที่ละเอียดกว่าและทรงพลังกว่ามากมายที่คุณสามารถตอบคำถามนั้นได้ นี่เป็นหัวข้อของทฤษฎีโฮโมโทปี
ฉันทำงานเกี่ยวกับการสร้างและใช้โครงสร้างเพิ่มเติมภายใน Floer homology ที่เลียนแบบโครงสร้างในทฤษฎี homotopy ความคล้ายคลึงกันของ Floer และทฤษฎี homotopy นั้นคล้ายคลึงกันมาก ดังนั้นฉันอยากรู้ว่า: คุณสามารถใช้กลไกของทฤษฎี homotopy เพื่อตอบคำถามโดยตรงในเรขาคณิตเชิงสมมาตรได้มากน้อยเพียงใด ฉันกำลังสร้างพจนานุกรมที่เชื่อมโยงความคล้ายคลึงของ Floer และทฤษฎี homotopy
คุณช่วยอธิบายงานนั้นให้ละเอียดกว่านี้หน่อยได้ ไหม
นักทฤษฎี homotopy สมัยใหม่มีแนวคิดที่ทรงพลังที่เรียกว่าประเภท homotopy ที่เสถียร ซึ่งเป็นสิ่งที่เป็นนามธรรมของความหลากหลายที่สูญเสียลักษณะทางเรขาคณิตบางส่วนไป แต่ยังคงไว้ซึ่งโครงสร้างทางทอพอโลยีที่สำคัญที่สุดจำนวนมาก เครื่องมือที่ซับซ้อนมากขึ้นจำนวนมากที่ใช้โดยนักทฤษฎี homotopy อันที่จริงแล้วสำหรับการจัดการประเภท homotopy ที่เสถียร ในงานของฉัน ฉันต้องการใช้ความคล้ายคลึงกันของ Floer เพื่อสร้างประเภท homotopy ที่เสถียรซึ่งเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงสมมาตร – เพื่อใช้ชุดเครื่องมือของนักทฤษฎี homotopy เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงสมมาตร ที่ MIT ฉันได้สร้าง Floer homology เวอร์ชัน homotopy ที่เสถียรสำหรับความหลากหลายของ manifolds เฉพาะที่เรียกว่าโดเมน Liouville และวางโครงสร้างของฉันไว้ในโครงสร้างที่กว้างขึ้นซึ่งเรียกว่าหมวดหมู่ Fukaya หมวดหมู่ฟุคายะนั้นเป็นวิธีการจัดระเบียบพีชคณิตของความคล้ายคลึงกันของ Floer พวกมันสามารถคำนวณได้ยากมาก แต่ถ้าคุณจัดการได้ คุณจะสามารถรับมือได้อย่างแข็งแกร่งในหลากหลายรูปแบบ
จุดสนใจของฉันตอนนี้ที่โคลัมเบียคือการได้รับการคำนวณเกี่ยวกับความคล้ายคลึงกันของ Floer เวอร์ชัน homotopy-theoretic และดูว่าสิ่งใหม่ ๆ ที่พวกเขาสามารถบอกเราเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงสมมาตรและสมมาตรของกระจก ตัวอย่างแรกสุดของความสมมาตรของกระจกเกิดขึ้นจากท่อร่วมเชิงสมมาตรซึ่งสัมพันธ์กันในรูปแบบต่างๆ กับกลุ่มท่อร่วมที่มีชื่อเสียงอีกกลุ่มหนึ่งซึ่งเรียกว่าพื้นที่ฉายภาพที่ซับซ้อน พื้นที่ฉายภาพที่ซับซ้อนมีความสมมาตรพิเศษมากมาย ซึ่งทำให้ Floer มีความคล้ายคลึงกันและการคำนวณคล้อยตามมากขึ้น ขณะนี้ฉันกำลังทำงานเพื่อสร้างเวอร์ชัน homotopy-theoretic ของ Floer homology และหมวดหมู่ Fukaya สำหรับช่องว่างเหล่านี้ และใช้สมมาตรพิเศษเพื่อทำความเข้าใจพวกเขาอย่างเป็นรูปธรรม ความหวังของฉันคือสิ่งนี้สามารถให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับการตีความความสมมาตรของกระจกในระดับลึกและเชิงทฤษฎี
สุดท้ายนี้ คุณคิดอย่างไรกับ Simons Junior Fellowship?
ฉันสัมภาษณ์เพื่อเข้าร่วมโครงการ Junior Fellowship ในช่วงที่เกิดการระบาดใหญ่ และนี่เป็นครั้งแรกที่ฉันได้พูดคุยกับคนที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ในเวลาเพียงหกเดือน เมื่อสิ่งต่าง ๆ ออกไปทางไกล การประชุมแผนกของฉันทั้งหมดยังคงดำเนินต่อไป แต่โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นไปไม่ได้เลยที่จะพบปะและติดต่อกับใครบางคนในสาขาอื่น ในที่สุด ฉันสามารถพูดคุยกับนักชีววิทยาระหว่างการสัมภาษณ์ของฉันได้ สูดอากาศบริสุทธิ์! และตอนนี้ฉันสนุกกับการเรียนและพูดเกี่ยวกับสาขาวิชาวิทยาศาสตร์ที่หลากหลายมาก เพราะตอนนี้ฉันเป็นรุ่นน้อง
และแม้แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ ฉันได้เรียนรู้มากมายจากจูเนียร์เฟลโลว์คนอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ฉันไม่เคยชื่นชมความสำคัญของเมทริกซ์แบบสุ่ม จนกระทั่งฉันได้พูดคุยกับ Jiaoyang Huang เพื่อนร่วมงานรุ่นน้องของฉัน Simons Junior Fellowship เปลี่ยนแปลงทั้งในและนอกสาขาของฉัน และฉันขอขอบคุณชุมชนทางปัญญาในนิวยอร์กซิตี้ที่ส่งเสริม
ปัญหาเกิดจากการซื้อเริ่มต้นในปี 2564 | ภาพประกอบโดย Alex Castro / The Verge
ภาพประกอบโดย Alex Castro / The Verge