การแสดงที่ลดทอนไม่ได้ของ GL_2(F_q)

avatar.png

บทนำ

กลุ่ม \(GL_2(\mathbb{F}_q)\) ประกอบด้วยเมทริกซ์กลับด้าน \(2 \times 2\) ที่มีรายการในฟิลด์ จำกัด \(\mathbb{F}_q\) โดยที่ \(q=p ^n\) สำหรับไพรม์บางตัว \(p\) (โดยตลอด เราแยกกรณีเมื่อ \(p=2\) เพราะมันค่อนข้างยาก) ในฐานะที่เป็น \(\mathbb{F}_p\) -vector space \(\mathbb{F}_q\) มีมิติ \(n\) กลุ่ม Galois \(G(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)\) เป็นวงกลมที่สร้างขึ้นโดยแผนที่ Frobenius

ฟิลด์ \(\mathbb{F}_q\) นั้นค่อนข้างซับซ้อนอยู่แล้ว ไม่ต้องพูดถึงกลุ่มเมทริกซ์ที่อยู่เหนือมัน ในโพสต์นี้ เราพยายามทำตามแนวคิดของฟุลตัน-แฮร์ริสเรื่อง ทฤษฎีการเป็นตัวแทน:หลักสูตรแรก เพื่อจัดประเภทการแทนค่าที่ไม่ลดทอนทั้งหมดของ \(G=GL_2(\mathbb{F}_q)\) ให้เจาะจง ให้พูดถึงกลุ่ม homomorphisms \(\rho:G\to GL(V)\) โดยที่ \(V\) เป็น \(\mathbb{C}\) -vector space

ก่อนอื่นเรากำหนดคาร์ดินาลิตี้ของ \(G=GL_2(\mathbb{F}_q)\) ระหว่างทางเราจะแนะนำกลุ่มย่อยที่สำคัญบางกลุ่ม

\[G \supset B = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 0 &d\end{pmatrix}:a,d \ne 0\right\} \supsetN= \left\{\begin{pmatrix }1 & b \\ 0 & 1\end{pmatrix}\right\}.\]

คาร์ดินาลิตี้ของ \(G\) ถูกกำหนดโดยสูตรคลาส พิจารณาการกระทำตามบัญญัติใน \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\)

ก่อนอื่น สังเกตว่า \(|\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)|=q+1\) มีองค์ประกอบ \(q^2\) ใน \(\mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q\) ไม่รวมศูนย์ เรามี \(q^2-1\) เหลืออยู่ ตั้งแต่ \((r:s)=a(r:s)\) forall \(a \in \mathbb{F}_q^\ast\) , แบ่ง \(q^2-1\) โดย \(|\ mathbb{F}_q^\ast|=q-1\) เพื่อให้ได้คาร์ดินัลลิตี้ของพื้นที่โปรเจ็กเตอร์

การกระทำของ \(G\) บน \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) ถูกกำหนดตามบัญญัติดังนี้:

\[\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}(r:s)=(ar+bs:cr+ds).\]

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง \(B\) คือกลุ่มไอโซโทรปีของชุด \(\{(1:0)\}\) เพราะในกรณีนี้ \((ar+bs:cr+ds)=(a:0)= (1:0)\). มีองค์ประกอบ \((q-1)(q-1)q\) ของ \(B\)

เนื่องจาก \(G\) ทำหน้าที่อย่างชัดเจนใน \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) โดยผ่าน classequation เรามี

\[|G|=|B||\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)|=(q-1)^2q(q+1).\]

โดยทั่วไป จำนวนสมาชิกของ \(GL_n(\mathbb{F}_q)\) คือ \(\prod_{k=0}^{n-1}(q^nq^k)\) สามารถตรวจสอบ เอกสาร นี้ได้

ต่อไปเราจะพิจารณากลุ่มย่อยในแนวทแยง

\[D=\left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & d\end{pmatrix}:a,d \ne 0\right\} = \mathbb{F}_q^\ast \times \ mathbb{F}_q^\ast.\]

ให้ \(\mathbb{F}’=\mathbb{F}_{q^2}\) เป็นส่วนขยายของ \(\mathbb{F}_q\) ของดีกรี \(2\) เราสามารถระบุได้อย่างแน่นอน \(GL_2(\mathbb{F}_q)\) เป็นกลุ่มของ \(\mathbb{F}_q\)-linear invertibleautomorphisms ของ \(\mathbb{F}’\) .Each \(h \in (\mathbb{F}’)^\ast\) ทำให้เกิด \(\mathbb{F}_q\) -linearautomorphism โดยการคูณ ดังนั้น \(h\) สามารถฝังลงใน \(GL_2(\mathbb{F }_q)\) คำถามคือยังไง ให้ \(K = (\mathbb{F}’)^\ast\) อยู่ในกลุ่มย่อยนี้ เราจดการแทนค่าเมทริกซ์ไว้อย่างชัดเจน

ให้ $$ เป็นตัวสร้างของกลุ่มวัฏจักร \(\mathbb{F}_q^\ast\) จากนั้น \(X^2-\varepsilon\) จะลดน้อยลงใน \(\mathbb{F}_q[X]\ ). ดังนั้นเราจึงมี \(\mathbb{F}_{q^2} \cong\mathbb{F}_q[X]/(X^2-\varepsilon)\) เราเห็น \(\{1,X\}\) หรือมากกว่านั้น \(\{1,\sqrt\varepsilon\}\) เป็นพื้นฐานของ \(\mathbb{F}_{q^2} \) เป็นเวกเตอร์เว้นวรรค \(\mathbb{F}_q\) เราสามารถระบุ \((\mathbb{F}’)^\ast\) asa subgroup \(K\) ของ \(G\) โดยที่

\[K=\left\{\begin{pmatrix}x & \varepsilon{y} \\ y & x\end{pmatrix}:\text{$x$ and $y$ notidentically zero}\right\} \cong (\mathbb{F}’)^\ast.\]

isomorphism ถูกกำหนดโดย

\[\begin{pmatrix}x & \varepsilon{y} \\ y & x\end{pmatrix} \leftrightarrow \zeta = x+ y\sqrt\varepsilon.\]

ในการทำให้ \(K\) เป็นกลุ่มย่อยของ \(G\) แต่ละรายการจะต้องอยู่ใน \(\mathbb{F}_q\) นั่นเป็นเหตุผลที่เราเขียน \(\varepsilon\) แทน \(\sqrt\varepsilon\) ในคำจำกัดความของ \(K\)

คลาสคอนจูเกซี

ในตอนท้ายของส่วนนี้ คุณจะเห็นตารางผลลัพธ์

สำหรับเมทริกซ์ การผันคำกริยาก่อให้เกิดค่าลักษณะเฉพาะและรูปแบบบัญญัติของจอร์แดน ดังนั้นเราจึงสร้างสามรูปแบบต่อไปนี้ทันที:

\[a_x = \begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}, \quadb_x = \begin{pmatrix}x & 1 \\ 0 & x \end{pmatrix}, \quadc_{x, y} = \begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} (x \ne y)\]

สำหรับแต่ละ \(x\) และ \(y\), \(a_x\), \(b_x\) และ \(c_{x,y}\) แสดงถึงคลาสคอนจูกาซีที่แตกต่างกันสามคลาสตามลำดับ และไม่ตัดกัน เราจะศึกษาคลาสคอนจูเกซีทั้งสามครอบครัวและดูว่าเราจะไปได้ไกลแค่ไหน สปอยเลอร์: เราจะพลาด \(\frac{q(q-1)}{2}\) คลาสคอนจูเกซี ซึ่งจะพบได้ในกลุ่มย่อย \(K \)

คลาส Conjugacy ที่แสดงโดย \(a_x\) เป็นคลาสที่ง่ายที่สุด เนื่องจากสเกลาร์เมทริกซ์สลับกับเมทริกซ์ใดๆ สำหรับเมทริกซ์ที่กลับด้านได้ \(A\) เราจึงมี

\[A^{-1}\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & x\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & x\end{pmatrix}A^{- 1}A=\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & x\end{pmatrix}.\]

ดังนั้นจึงมีเพียงองค์ประกอบเดียวในคลาสผันคำกริยาแสดงโดย \(a_x\) ตั้งแต่ throughall \(x \ne 0\) เราได้รับ \(q-1\) คลาสดังกล่าว

สำหรับรูปแบบบัญญัติของจอร์แดนเช่น \(b_x\) เรื่องราวจะแตกต่างออกไป จากทั้งหมด \(x \ne 0\) เราได้รับคลาสดังกล่าวอีกครั้ง \(q-1\) อย่างไรก็ตาม เพื่อกำหนดคาร์ดินาลลิตี้ของแต่ละคลาส การทำงานเฉพาะในขอบเขตของเมทริกซ์นั้นไม่สมจริง

ให้ \(\mathcal{C}=(b_x)\) เป็นคลาสลูกผสม ให้ \(G\) ทำหน้าที่ \(\mathcal{C}\) โดยการผันคำกริยา การกระทำเป็นสกรรมกริยา: สำหรับ \(A,B \in\mathcal{C}\) มีเมทริกซ์แบบกลับด้าน \(U\) และ \(V\) เช่นนั้น \(U^{-1}AU=b_x=V ^{-1}BV\) และด้วยเหตุนี้ \(A=(VU^{-1})^{-1}B(VU^{-1})\)

เพื่อกำหนดคาร์ดินัลลิตี้ของ \(\mathcal{C}\) เราใช้สูตรคลาสอีกครั้ง สมมติว่า \(A=(a_{ij})\) แก้ไข \(b_x\) , เช่น \(A^{-1}b_xA=b_x\) หรือ \(b_xA=Ab_x\) แล้ว

\[Ab_x=\begin{pmatrix}a_{11}x & a_{11}+a_{12}x \\a_{21}x & a_{21}+a_{22}x\end{pmatrix}=\ เริ่มต้น{pmatrix}a_{21}+a_{11}x & a_{22}+a_{12}x \\a_{21}x & a_{22}x\end{pmatrix} = b_x A.\]

สมการข้างต้นบอกเป็นนัยว่า \(c=0\) และ \(a=d\) ดังนั้นกลุ่มไอโซโทรปีของ \(\{b_x\}\) คือ

\[J=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}:a \ne0\right\}.\]

มันตามมาว่า \(|\mathcal{C}|=|G|/|J|=(q^2-q)(q^2-1)/(q^2-q)=q^2-1\ ).

ให้ \(\mathcal{D}=(c_{x,y})\) เป็นคลาสลูกผสม ผ่านทั้งหมด \(x,y \ne0\) ด้วย \(y \ne x\) จากนั้นหารด้วย \(2\) เราได้รับ \(\frac{(q-1)(q-2)}{ 2}\) คลาส conjugacy ในรูปแบบเดียวกันของ \(\mathcal{D}\) เราหารด้วย \(2\) เพราะ \(c_{x,y}\) คอนจูเกตกับ \(c_{y,x}\) เนื่องจากมีค่าเท่ากัน

เรากำหนดคาร์ดินัลลิตี้ของ \(\mathcal{D}\) ในลักษณะเดียวกับ \(\mathcal{C}\) กลุ่มไอโซโทรปีของ \(\{c_{x,y}\}\) คือ \(D\) ในบทนำ ดังนั้น \(|\mathcal{D}|=|G|/|D|=q^2+q\)

ทีนี้ลองนับจำนวนคลาส conjugacy ที่เราได้รับ:

\[1(q-1)+(q^2-1)(q-1)+(q^2+q)\frac{(q-1)(q-2)}{2}=\frac{ 1}{2}(q^4-3q^2+2q).\]

เรายังต้องหาองค์ประกอบ \(\frac{q^2(q-1)^2}{2}\) ดูกลุ่มย่อยที่เราได้รับในบทนำ กลุ่มย่อยเช่น \(B\), \(N\) และ \(D\) ทั้งหมดลงไปในรูปแบบ Jordancanonical ทันที แต่ \(K\) ไม่ใช่กรณี พิจารณา

\[d_{x,y}=\begin{pmatrix} x & \varepsilon{y} \\ y & x\end{pmatrix}, \quad y \ne 0.\]

จากนั้นค่าลักษณะเฉพาะของ \(d_{x,y}\) คือ \(x\pm \sqrt\varepsilon y\) ซึ่งไม่มีสิ่งใดอยู่ใน \(\mathbb{F}_q\) ดังนั้นจึงไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ แบบฟอร์มบัญญัติของจอร์แดน เราจะสำรวจส่วนที่เหลือของคลาส conjugacy ของ \(G\) ที่นี่

จากทั้งหมด \(x\) และ \(y \ne 0\) จากนั้นหารด้วย \(2\) เราได้รับ \(\frac{q(q-1)}{2}\) คลาสผันคำกริยา เราหารด้วย \(2\) เพราะ \(d_{x,y}\) และ \(d_{x,-y}\) ผันกันโดยใด ๆ

\[\begin{pmatrix}a & -\varepsilon{c} \\c & -a\end{pmatrix}.\]

ตอนนี้ให้ \(\mathcal{E}=(d_{x,y})\) เป็นคลาส conjugacy สังเกตว่ากลุ่มไอโซโทรปีของ \(d_{x,y}\) คือ \(K\) ดังนั้นเราจึงสามารถรับคาร์ดินัลลิตี้ได้ \(|\mathcal{E}|=|G|/|K|=(q-1) )^2q(q+1)/(q^2-1)=q^2-q\)ตอนนี้การค้นหาของเราเสร็จสมบูรณ์

ตัวแทน จำนวนองค์ประกอบในชั้นเรียน จำนวนชั้นเรียน
\(a_x=\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 &x\end{pmatrix}\) \(1\) \(q-1\)
\(b_x =\begin{pmatrix}x & 1 \\ 0 & x \end{pmatrix}\) \(q^2-1\) \(q-1\)
\(c_{x,y} =\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} (x \ney)\) \(q^2+q\) \(\frac{(q-1)(q-2)}{2}\)
\(d_{x,y}=\begin{pmatrix} x & \varepsilon{y} \\y & x \end{pmatrix}, y \ne 0\) \(q^2-q\) \(\frac{q(q-1)}{2}\)

เมทริกซ์เหล่านี้มักจะไม่ปรากฏในส่วนที่เหลือของโพสต์ เนื่องจากจะทำให้รูปแบบยุ่งเหยิง

ตัวแทนที่ลดไม่ได้

มี \(q-1+q-1+\frac{(q-1)(q-2)+q(q-1)}{2}=q^2-1\)conjugacy class ดังนั้นเราต้องการ เพื่อค้นหา \(q^2-1\) การแทนค่าที่ลดไม่ได้ แน่นอนว่าเราไม่สามารถลงรายการทั้งหมดได้ เราจะจัดประเภทด้วยเหตุผลบางประการแทน ตารางอักขระสามารถพบได้ในส่วนถัดไป

การคำนวณบางอย่างถูกละเว้น เพราะหากไม่อ่าน ส่วนนี้จะไม่สามารถอ่านได้ อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนโพสต์นี้ได้ตรวจสอบส่วนใหญ่บนกระดาษแล้ว ผู้อ่านน่าจะคิดคำนวณเองได้ง่าย สำหรับการคำนวณที่เสร็จสมบูรณ์ หนึ่งอ้างถึงบันทึกนี้ อย่างไรก็ตามการจำแนกประเภทจะแตกต่างจากที่นี่เล็กน้อย การอ่านสิ่งนี้ก่อนอาจช่วยให้คุณเข้าใจได้

ความพยายามที่ 1 – การแสดงแทนการเรียงสับเปลี่ยน

จำได้ว่าเราพบการแทนค่าไม่ได้ของ \(\mathfrak{S}_3\): พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของ abasis ในพื้นที่เวกเตอร์ของมิติ \(3\) เราทำสิ่งที่คล้ายกันที่นี่ ให้ \(G\) ดำเนินการกับ \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) โดยการเรียงสับเปลี่ยน สิ่งนี้ทำให้เกิด \(q+1\) การแสดงมิติ \(W\) เนื่องจาก \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) มีองค์ประกอบ \(q+1\) มันมีการแสดง thetrivial \(U\) ให้ \(V\) เป็นส่วนเสริมของ \(U\) เช่น \(W=U\oplus V\) จากนั้น \(V\) hasdimension \(q\) ตอนนี้เรากำหนดลักษณะของ \(V\) เนื่องจาก \(\chi_V=\chi_W-\chi_U=\chi_W-1\) เราจำเป็นต้องคำนวณเท่านั้น \(\chi_W\) เท่านั้น นั่นคือเพื่อดูจุดคงที่ของการเรียงสับเปลี่ยนในแต่ละคลาส conjugacy

  1. \(\chi_W(a_x)=q+1\) มันแก้ไขทุกจุด

  2. \(\chi_W(b_x)=1\) . แก้ไขจุดเดียวเท่านั้น: \((1:0)\)

  3. \(\chi_W(c_{x,y})=2\) . แก้ไขจุดสองจุด: \((1:0)\) และ \((0:1)\)

  4. \(\chi_W(d_{x,y})=0\) . ถ้า \(d_{x,y}\) แก้ไข \((a:b)\) แล้ว \(a^2=\varepsilon b^2\) และสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น

ดังนั้นเราจึงมี

\(ขวาน\) \(b_x\) \(c_{x,y}\) \(d_{x,y}\)
\(\chi_V\) \(q\) \(0\) \(1\) \(-1\)

เราเห็นแล้วว่า \((\chi_V,\chi_V)=1\) .ดังนั้น \(V\) จึงลดไม่ได้และเราไม่สามารถย่อยสลาย \(W\) ได้อีก เราต้องหาแนวทางที่แตกต่างกัน

ความพยายามที่ 2 – Pontryagin Dual

Pontryagin dual ของกลุ่ม \(H\) ถูกกำหนดให้เป็น

\[\hat{H}=\operatorname{Hom}(H,S^1).\]

ถ้า \(H\) ยอมรับโทโพโลยี เราอาจต้องการกำจัด homomorphisms ที่ไม่ต่อเนื่องกัน แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่เรากังวล เพราะตอนนี้เราสนใจแค่กลุ่มจำกัดเท่านั้น ซึ่งยอมรับ discretetopology ขอให้สังเกตว่าถ้า \(H\) เป็นจำนวนจำกัดและเป็นวงกลม \(\hat{H} \congH\) เราจะใช้ข้อเท็จจริงนี้ทันที

เนื่องจาก \(G\) อาจค่อนข้างใหญ่ ดังนั้นการศึกษาค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของการแสดงแทนจึงไม่ใช่เรื่องจริง ในทางกลับกัน เราพิจารณา Pontryagin dual ของ \(\mathbb{F}_q^\ast\) ซึ่งเป็นกลุ่มวัฏจักรอนันต์อีกครั้ง สำหรับแต่ละองค์ประกอบ \(q-1\) ใน \(\hat{H}\), \(\alpha:\mathbb{F}_q^\ast \to S^1\) เรามีหนึ่งมิติ การเป็นตัวแทน \(U_\alpha\) ของ \(G\) ที่กำหนดโดย

\[\chi_{U_\alpha}(g)=\alpha(\det(g)), \quad g \in G.\]

สังเกตว่าการแสดงแทนเล็กน้อยเป็นหนึ่งใน \(U_\alpha\) เมื่อรู้ว่า \(\alpha\) กำหนดโดย \(\alpha(x)=1\) สำหรับทุกคน \(x \in \mathbb{F }_q^\ast\) ยังเป็น ahomomorphism ใน \(S^1\)

Tensoring \(U_\alpha\) ด้วย \(V\) เราได้รับอีกครอบครัวหนึ่งของการเป็นตัวแทนที่ไม่สามารถแก้ไขได้ \(\{V_\alpha = V\otimes U_\alpha\}\) หมายเหตุ \(V\) เป็นหนึ่งใน \(V_\alpha\) ตารางอักขระสามารถคำนวณได้ง่าย

\(ขวาน\) \(b_x\) \(c_{x,y}\) \(d_{x,y}\)
\(U_\อัลฟ่า\) \(\อัลฟ่า(x)^2\) \(\อัลฟ่า(x)^2\) \(\alpha(x)\alpha(y)\) \(\alpha(x^2-\varepsilon y^2)\)
\(V_\อัลฟ่า\) \(q\alpha(x)^2\) \(0\) \(\alpha(x)\alpha(y)\) \(-\alpha(x^2-\varepsilon y^2)\)

ความพยายามที่ 3 -Pontryagin Dual x Pontryagin Dual

เราได้กำหนด \(2(q-1)\) การแสดงที่ลดไม่ได้สำเร็จแล้ว ยังคงพบ \((q-1)^2\) ของพวกเขาอยู่ ตอนนี้เราใช้กลุ่มย่อยที่เรากำหนดไว้ สำหรับแต่ละ \(\alpha,\beta \in\widehat{\mathbb{F}_q^\ast}\) เรามีคุณลักษณะใหม่ของการนำเสนอ:

\[\begin{aligned}\gamma_{\alpha,\beta}:B \to B/N \cong D \cong \mathbb{F}^\ast \times\mathbb{F}^\ast&\xrightarrow{( \alpha,\beta)}\mathbb{C}^\ast \times \mathbb{C}^\ast\xrightarrow{\times}\mathbb{C}^\ast\\\begin{pmatrix}a & b \ \ 0 & d\end{pmatrix}&\mapsto \alpha(a)\beta(b)\end{aligned}\]

ให้ \(W’_{\alpha,\beta}\) มีการนำเสนอของ \(B\) ด้วยอักขระ \(\gamma_{\alpha,\beta}\) และให้ \(W_{\alpha,\beta }=\operatorname{Ind}_B^GW_{\alpha,\beta}’\) เราสามารถเขียนตารางอักขระของ \(W_{\alpha,\beta}\) ได้อย่างง่ายดาย (ไม่ ด้วยการคำนวณสกปรกมากมาย)

\(ขวาน\) \(b_x\) \(c_x\) \(d_x\)
\(W_{\alpha,\beta}\) \((a+1)\alpha(x)\เบต้า(x)\) \(\อัลฟ่า(x)\เบต้า(x)\) \(\alpha(x)\beta(y)+\alpha(y)\beta(x)\) \(0\)

ถ้า \(\alpha=\beta\) แล้ว \(W_{\alpha,\beta}=U_\alpha \oplus V_\beta\) จึงไม่ลดน้อยลง อย่างไรก็ตาม ถ้า \(\alpha \ne\beta\) , แล้ว \(W_{\alpha,\beta} \congW_{\beta,\alpha}\) จะลดไม่ได้ ถ้าใครคำนวณ \((\chi,\chi )\) ขนาดของ \(W_{\alpha,\beta}\) คือ \([G:B]=q+1\) และมี \(\frac{1}{2}(q-1)(q -2)\) ของพวกเขา ยังคงมี \(\frac{1}{2}q(q-1)\) พบการแทนค่าที่ลดไม่ได้

ความพยายามที่ 4 – Pontryagin Dual ofK

เรายังไม่ได้ใช้กลุ่มย่อยนี้ ดังนั้นเราจึงสำรวจมันในแนวทางเดียวกันก่อนในความพยายามที่ 3 เราพิจารณาคู่ของ \(\mathbb{F}’ \cong K\) แต่ละ \(\varphi:(\mathbb{F}’)^\ast \to\mathbb{C}^\ast\) ยังกำหนดการแสดงบน \(K\) ด้วยอักขระ \(\varphi\) ทันทีที่คิดเกี่ยวกับ \(\operatorname{Ind}_K^G(\varphi)\) ซึ่งเราเพียงแค่เขียน \(\operatorname{Ind}(\varphi)\) มันง่ายในการคำนวณตารางอักขระจนถึงตอนนี้

\(ขวาน\) \(b_x\) \(c_{x,y}\) \(d_{x,y}\)
\(\operatorname{Ind}(\varphi)\) \(q(q-1)\varphi(x)\) \(0\) \(0\) \(\varphi(\zeta)+\varphi(\zeta)^q\)

เราใส่ \(\zeta=x+y\sqrt\varepsilon \in K =(\mathbb{F}’)^\ast\) เนื่องจาก \(\operatorname{Ind}(\varphi) \cong\operatorname{Ind}(\varphi^q)\) เราได้รับ \(\frac{1}{2}q(q-1)\) แทน ของสิ่งนี้โดยมีข้อ จำกัด ว่า \(\varphi^q\ne \varphi\) อย่างไรก็ตาม เรามี \((\chi,\chi)=q\) if \(\varphi^q=\varphi\), \((\chi,\chi)=q-1\) if \(\varphi ^q \ne \varphi\) เรายังต้องทำงานกับมันจากทิศทางที่ต่างกัน

ความพยายามที่ 5 – ใช้ประโยชน์ทั้งหมด

เรามาลองเซนเซอร์สิ่งที่เราพบกัน เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า \(V_\alpha \otimes U_\gamma =V_{\alpha\gamma}\) และ \(W_{\alpha,\beta} \otimesU_{\gamma}=W_{\alpha\gamma ,\beta\gamma}\) ดังนั้นเราจึงไม่พบสิ่งใหม่ที่นี่ แต่การเทนเซอร์ \(W_{\alpha,\beta}\) และ \(V_\alpha\) ทำให้เราค่อนข้างแตกต่าง เราเห็นสำหรับ \(\alpha \ne1\) ,

\(ขวาน\) \(b_x\) \(c_{x,y}\) \(d_{x,y}\)
\(V \otimesW_{\alpha,1}\) \(q(q+1)\อัลฟา(x)\) \(0\) \(\alpha(x)+\alpha(y)\) \(0\)

ให้ \(\varphi \in\widehat{(\mathbb{F}’)^\ast}\) เป็น homomorphism เช่นนั้น\(\varphi|_{\mathbb{F}_{q}^\ast}= \alpha\).การคำนวณผลิตภัณฑ์ภายในทำให้เรา

\[\begin{aligned}(\chi_{V \otimes W_{\alpha,1}},\chi_{W_{\alpha,1}})&=2, \\(\chi_{V \otimes W_{ \alpha,1}},\chi_{V \otimes W_{\alpha,1}})&=q+3,\\(\chi_{\operatorname{Ind}(\varphi)},\chi_{W_{ \alpha,1}}) &= 1, \\(\chi_{\operatorname{Ind}(\varphi)},\chi_{V \otimes W_{\alpha,1}})&= q.\end{ ชิด}\]

เราเห็น \(W_{\alpha,1}\) อยู่ในการแสดงที่กำหนดโดย \(\operatorname{Ind}(\varphi)\) เรายังเห็นว่า \(W_{\alpha,1}\) มีอยู่ใน \(V \otimes W_{\alpha,1}\) นอกจากนี้ \(\operatorname{Ind}(\varphi)\) และ \(V \otimes W_{\alpha,1}\) มีตัวแทนย่อยจำนวนมากที่เหมือนกัน การเดาครั้งแรกน่าจะเป็นว่า \(\operatorname{Ind}(\varphi)\) เป็นตัวแทนของ \(V \otimesW_{\alpha,1}\) ดังนั้น บางทีเราอาจพบบางสิ่งที่เราขาดหายไปที่นี่ ด้วยเหตุผลนี้ ให้พิจารณาตัวละครเสมือน

\[\chi_\varphi=\chi_{V \otimesW_{\alpha,1}}-\chi_{W_{\alpha,1}}-\chi_{\operatorname{Ind}(\varphi)}.\]

เราสามารถคำนวณได้ว่า \((\chi_\varphi,\chi_\varphi)=1\) เพื่อให้เห็นว่านี่เป็นตัวละครจริงๆ เราคำนวณตารางอักขระ

\(ขวาน\) \(b_x\) \(c_{x,y}\) \(d_{x,y}\)
\(\chi_\varphi\) \((q-1)\อัลฟ่า(x)\) \(-\อัลฟ่า(x)\) \(0\) \(\varphi(\zeta)+\varphi(\zeta)^q\)

มันตามมาว่า \(\chi_\varphi(1)=q-1>0\) ดังนั้น \(\chi_\varphi\) จึงลดไม่ได้ เนื่องจากแต่ละ \(\chi_\varphi\) ถูกกำหนดโดย \(\varphi\) ด้วย \(\varphi^q \ne \varphi\) และมี \(\frac{1}{2}q(q- 1)\) ของ \(\varphi\) ดังกล่าว เราได้กำหนดอักขระที่ลดทอนไม่ได้ทั้งหมดแล้ว พวกเขาแสดงโดย \(X_\varphi\)

ตารางอักขระ

\(GL_2(\mathbb{F}_q)\) \(ขวาน\) \(b_x\) \(c_{x,y}\) \(d_{x,y}\leftrightarrow\zeta\) \(\มืด\)
\(U_\อัลฟ่า\) \(\อัลฟ่า(x^2)\) \(\อัลฟ่า(x^2)\) \(\อัลฟ่า(xy)\) \(\alpha(\zeta^q)\) \(1\)
\(V_\อัลฟ่า\) \(q\alpha(x^2)\) \(0\) \(\อัลฟ่า(xy)\) \(-\alpha(\zeta^q)\) \(q\)
\(W_{\alpha,\beta}\) \((q+1)\alpha(x)\เบต้า(x)\) \(\อัลฟ่า(x)\เบต้า(x)\) \(\alpha(x)\beta(y)+\alpha(y)\beta(x)\) \(0\) \(q+1\)
\(X_\varphi\) \((q-1)\varphi(x)\) \(-\varphi(x)\) \(0\) \(-(\varphi(\zeta)+\varphi(\zeta^q))\) \(q-1\)

ข้อสังเกตบางประการอยู่ในลำดับ เราสามารถเรียกสี่คลาสเหล่านี้ของการแทนค่าที่ลดไม่ได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ (ตัดตอนมาจากเอกสารนี้):

  1. \(U_\alpha\) : \(1\)-การแสดงมิติ มี \(q-1\) ของพวกเขา

  2. \(V_\alpha=V \otimes U_\alpha\) : \(q\) -การแสดงมิติ ที่นี่ \(V\) เรียกอีกอย่างว่า Steinbergrepresentation มี \(q-1\) ของพวกเขา

  3. \(W_{\alpha,\beta}\) : (\(q+1\))-หลักการอนุกรมมิติที่ลดไม่ได้ในมิติ มี \(\frac{1}{2}(q-1)(q-2)\) อยู่ในนั้น ผู้เขียนบางคนยังอาจปฏิบัติต่อชุดหลักการแทนมิติ \(q\)

  4. \(X_\varphi\) : การแทนค่าของกระดูกคัสปิดไม่ได้หรือการแทนอนุกรมเสริม มี \(\frac{1}{2}q(q-1)\) อยู่ในนั้น การนำเสนอเป็นเรื่องไร้สาระหากโมดูล Jacquet ไม่สำคัญ

แคลคูลัสของสนาม – ค่าสัมบูรณ์

avatar.png

ค่านิยมและสถานที่

เราต้องการใช้แคลคูลัสกับเขตข้อมูล แต่จำเป็นต้องมีเครื่องมือ สำหรับแคลคูลัสเชิงทฤษฎี บน \(\mathbb{R}\) หรือ \(\mathbb{C}\) บทบาทที่สำคัญที่สุดเล่นโดย limit: \[\lim_{x \to a}f(x)=A \] ในการกำหนดขีดจำกัด เราต้องการค่าสัมบูรณ์ มันเป็นสิ่งจำเป็นที่ \(|f(x)-A|\) มีขนาดเล็กโดยพลการเมื่อ \(|xa|\) มีขนาดเล็กโดยพลการ

อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถย้ายค่าสัมบูรณ์ไปยังฟิลด์อื่นโดยตรง อันที่จริง ถ้าฟิลด์ \(k\) เป็นส่วนขยายของ \(\mathbb{Q}\) เราอาจกำหนดค่าสัมบูรณ์บน \(k\) ให้เป็นข้อจำกัดของค่าสัมบูรณ์ของ \(\mathbb{C }\) แต่นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป: วิธีการนี้ใช้ได้กับฟิลด์ที่มีคุณสมบัติเชิงบวก ตัวอย่างเช่น \(\mathbf{F}_8\) ไม่ใช่ฟิลด์ย่อยของ \(\mathbb{Q}\) เนื่องจาก \(\mathbf{ F}_2\) ไม่ใช่ นอกจากนี้ เราไม่ควรจำกัดตัวเราให้อยู่กับกรณีที่ซื่อสัตย์ต่อแคลคูลัสธรรมดาและเพิกเฉยต่อศักยภาพอื่นๆ ลักษณะที่สำคัญที่สุดของคนธรรมดาค่าสัมบูรณ์คือความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม แต่บางทีเราอาจละเว้นนั้นและแทนที่ด้วยสิ่งที่แตกต่างออกไป อาจมีความแตกต่างกันอีกมากค่าสัมบูรณ์ที่ต้องศึกษา ด้วยเหตุผลเหล่านี้ เราจึงกำหนดค่าสัมบูรณ์ในฟิลด์ต่างๆ ก่อน

คำจำกัดความ 1. ค่าสัมบูรณ์ ona field \(K\) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าจริง \(|\cdot|:K \to \mathbb{R}_+\) เช่นนั้น

  1. สำหรับทุก \(x \in K\) เรามี \(|x| \ge 0\) และ \(|x|=0\) ถ้าหากว่า \(x=0\)

  2. \(|xy|=|x||y|\) .

  3. มีอยู่แล้ว \(c>0\) เช่นนั่น \(|x+y| \le c\max\{|x|,|y|\}\)

ก่อนที่เราจะเจาะลึกรายละเอียดทางเทคนิคบางอย่างเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกัน เรามาดูตัวอย่างที่ไม่สำคัญและไม่สำคัญกันก่อน

  1. ในฟิลด์ใด ๆ \(K\) เราสามารถกำหนด \(|x|=1\) สำหรับทุกคน \(x \ne 0\) นี่เป็นค่าที่ไม่สำคัญที่สุดและมีข้อมูลเพียงเล็กน้อยหรือไม่มีเลย แต่ไม่ว่าค่าสัมบูรณ์จะไม่สำคัญ เรามักจะมี \(|1|=1\) เพราะ \(|1x|=|1||x|=|x|\)

  2. ถ้า \(K=\mathbb{Q}\) เราสามารถกำหนด \(|m/n|\) ให้เป็นค่าสัมบูรณ์แบบสัมบูรณ์ \(\sqrt{\left(\frac{m}{n}\right)^2 }\) เราคุ้นเคยกับมันอย่างแน่นอน เป็นเรื่องปกติที่จะเขียน \(|\cdot|_\infty\)

  3. อย่างไรก็ตามสำหรับ \(K=\mathbb{Q}\) และ \(m/n \in K\) เรายังสามารถเขียน \[\frac{m}{n}=p^a\frac{m’ }{n’}.\] โดยที่ \(m’\) และ \(n’\) เป็นจำนวนเต็มร่วมกับ \(p\) ภายใต้การนำเสนอนี้เราสามารถใส่

\[\left|\frac{m}{n}\right|_p=p^{-a}.\]

ด้วยวิธีนี้เราได้รับค่าสัมบูรณ์ \(|\cdot|_p\) ที่แตกต่างจาก \(|\cdot|_\infty\) โดยสิ้นเชิง “ความแตกต่าง” จะถูกกล่าวถึงในภายหลัง เราสามารถยืนยันได้ว่า \(|\cdot|_p\) เป็นค่าสัมบูรณ์และค่าคงที่ \(c\) ในคำจำกัดความควรจะเป็น \(1\) สิ่งนี้เรียกว่าค่าสัมบูรณ์ \(p\)-adic

  1. ให้ \(K=\mathbf{F}_q\) เป็นฟิลด์จำกัด ดังนั้นค่าสัมบูรณ์เพียงอย่างเดียวใน \(K\) นั้นไม่สำคัญ หากต้องการดูสิ่งนี้ โปรดสังเกตว่า \(K^\times\) เป็นกลุ่มวัฏจักร Pickany \(x \in K^\times\) เรามี \(|x|^{q-1}=|x^{q-1}|=|1|=1\)

การจำแนกประเภทแรก

อสมการสามเหลี่ยม

ดูเหมือนว่าเราจะเพิกเฉยต่ออสมการสามเหลี่ยมโดยไม่มีเหตุผล แต่แท้จริงแล้วเราไม่ได้ทำ ในการดูสิ่งนี้ เราให้การปรับแต่งความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมก่อน

โจทย์ที่ 1 ให้ \(|\cdot|:K \to \mathbb{R}\) เป็นค่าสัมบูรณ์ด้วย \(|x+y|\lec\max\{|x|,|y|\}\) , แล้วสองข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่า:

  1. \(c \le 2\) .

  2. สำหรับทุก \(a,b \in K\) เรามี \(|a+b|\le |a|+|b|\) นี่คือ ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

การพิสูจน์. เป็นที่ชัดเจนว่า \(|a|+|b| \le 2\max\{|a|,|b|\}\) ดังนั้นเราจึงต้องแสดงว่า 1 หมายถึง 2 ในการทำเช่นนี้เราจะใช้ aforward- การเหนี่ยวนำย้อนกลับ สมมติว่าก่อน \(n=2^m\) สำหรับจำนวนเต็มบวก \(m\) และให้ \(a_1,\dots,a_n\) เป็นลำดับขององค์ประกอบของ \(K\) จากนั้นโดยการเหนี่ยวนำทันทีมี

\[\left|\sum_{k=1}^{n}a_k \right| \le 2^m \max |a_k|=n\max|a_k| \le 2n\max|a_k|.\]

สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่พอใจ \(2^{m-1} < n \le 2^m\) และ \(a_1,\dots,a_{n} \in K\) เราสามารถใส่ \(a_{ n+1}=\cdots=a_{2^m}=0\) เพื่อรับ

\[\begin{aligned}\left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right| &\le c\max\left\{\left|\sum_{k=1}^{2^{m-1}}a_k\right|,\left|\sum_{k=2^m+1}^ {2^{m}}a_k\right|\right\}\\ &\le2\max\left\{\left|\sum_{k=1}^{2^{m-1}}a_k\right| ,\left|\sum_{k=2^m+1}^{2^{m}}a_k\right|\right\}\\ &\le2\max\left\{2^{m-1}\ cdot\max_{1\le k \le2^{m-1}}|a_k|,2^{m-1}\cdot\max_{2^{m-1}<k\le 2^m}|a_k |\right\} \\ &\le 2 \cdot 2^{m-1}\max_{1 \le k \le2^m}|a_k| \\ &\le 2n \max_{1 \le k \le 2^m}|a_k|\end{aligned}\] ให้ \(\tilde{n}\) เป็นภาพของ \(n\) ใน \( K\) เช่น \(\tilde{n}=\underbrace{1+\dots+1}_{n\text{ times}}\) ถ้าเราใส่ \(a_k=1\) ให้กับทุกคน \(1 \le k \le n\) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรา \(|\tilde{n}| \le 2n\) นอกจากนี้เรายังมี

\[ \left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right| \le 2n \sum_{k=1}^{n}|a_k|.\]

เราจึงสามารถเขียน

\[\begin{aligned}|a+b|^n &= |(a+b)^n| \\ &=\left|\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}a^kb^{nk} \right| \\ &\le 2(n+1)\sum_{k=0}^{n}\left|\widetilde{n\choosek}\right||a|^k|b|^{nk} \\ & \le 4(n+1)\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}|a|^k|b|^{nk} \\ &=4(n+1) (|a) |+|b|)^n.\end{aligned}\]

เป็นไปตามนั้น

\[|a+b| \le \sqrt[n]{4(n+1)}(|a|+|b|), \quad \forall n \in \mathbb{N}.\]

เนื่องจาก \(\lim_{n \to\infty}\sqrt[n]{4(n+1)}=1\) เราเสร็จแล้ว \(\square\) ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเป็นสิ่งที่พึงปรารถนาเสมอ แต่ก็ไม่เสมอไป หากต้องการดูสิ่งนี้ ให้พิจารณา \(\mathbb{C}((X))\) ฟิลด์ของชุด formalLaurent โดยที่แต่ละองค์ประกอบอยู่ในรูปแบบ

\[f(X)=\sum_{k=n}^{\infty}a_kX^k\]

โดยที่ \(a_n \ne 0\) เราสามารถกำหนดค่าสัมบูรณ์บน \(\mathbb{C}((X))\) โดย \(|f|=|a_n|\) สามเงื่อนไขสามารถตรวจสอบได้ง่าย แต่ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้า \(f(X)=1+2X\) และ \(g(X)=-1+3X\) ดังนั้น \(|f+g|=5\) ในขณะที่ \(|f|= |g|=1\). ด้วยเหตุผลนี้ เราจึงกำลังมองหา ‘การทดแทน’ ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์และสถานที่เทียบเท่า

สังเกตว่าค่าสัมบูรณ์ทำให้เกิดการวัดค่าคงที่การแปลในลักษณะที่ชัดเจน:

\[d(x,y)=|xy|.\]

โทโพโลยีเกิดขึ้นในธรรมชาติของสิ่งต่างๆ เราไม่สามารถใช้การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันของทฤษฎีบทได้โดยตรง เพราะเราไม่มีปริภูมิเวกเตอร์หรือปริภูมิเชิงซ้อน แต่เราสามารถนำเข้าแนวคิดที่สำคัญเหล่านั้นได้ เมื่อศึกษาทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด เราใส่ใจเกี่ยวกับบรรทัดฐานหรือเมตริกที่เทียบเท่ากัน ว่าพวกมันกระตุ้นโทโพโลยีเดียวกันหรือไม่ ที่นี่เราจะทำสิ่งนั้นด้วย

คำจำกัดความ 2 ค่าสัมบูรณ์สองค่า \(|\cdot|_1\) และ \(|\cdot|_2\) มี ค่าเท่ากัน หากพวกมันเหนี่ยวนำโทโพโลยีเดียวกัน (นี่คือความเท่าเทียมกันอย่างชัดเจน) คลาสสมมูลของค่าสัมบูรณ์เรียกว่า สถานที่

เห็นได้ชัดว่าโทโพโลยีไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ไม่สำคัญ ดังนั้นค่าสัมบูรณ์เล็กน้อยจึงไม่เท่ากับค่าที่ไม่สำคัญใดๆ แต่ลองดูค่าสัมบูรณ์ที่ไม่สำคัญสองค่าที่ไม่เท่ากัน ใน \(\mathbb{Q}\) ให้พิจารณา \(|\cdot|_\infty\) และ \(|\cdot|_2\) ลำดับ \(\left\{\frac{1}{n}\right\}\) มาบรรจบกันเป็น \(0\) ภายใต้ค่าสัมบูรณ์แรกอย่างไรก็ตาม \[\limsup_{n \to \infty}\left| \frac{1}{n}\right|_2=1\] หากเราพิจารณาเลขคี่ ในทางกลับกัน \(\{2^n\}\) ไม่ได้มาบรรจบกันภายใต้ \(\left|\cdot\right|_\infty\) แต่ \(\left|2^n\right|_2=2 ^{-n} \to 0\) เป็น \(n \to \infty\) โทโพโลยีที่เกิดจาก \(|\cdot|_\infty\) นั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากโทโพโลยีที่เกิดจาก \( |\cdot|_p\) สำหรับ prime \(p\)

เรามีคุณลักษณะที่สำคัญของค่าสัมบูรณ์ที่เทียบเท่ากัน

ข้อเสนอที่ 2 ให้ \(|\cdot|_1\) และ \(|\cdot|_2\) เป็นค่าสัมบูรณ์ที่ไม่สำคัญสองค่า ดังนั้นข้อความต่อไปนี้จะเท่ากัน

  1. \(|\cdot|_1\) และ \(|\cdot|_2\) เทียบเท่ากัน

  2. \(|x|_1<1\) หมายความว่า \(|x|_2<1\)

  3. มี \(\lambda>0\) เช่นนั้น \(|\cdot|_1=|\cdot|_2^\lambda\)

การพิสูจน์. สมมติว่า \(|\cdot|_1\) และ \(|\cdot|_2\) เท่ากัน ถ้า \(|x|_1<1\) แล้ว \(\lim_{n \to \infty}x^n=0\) ดังนั้น \(|x|_2<1\) หรือมิฉะนั้น \(|x|_2^n\) จะไม่มาบรรจบกันกับ \(0\) ในทำนองเดียวกัน \(|x|_2<1 \implies |x|_1<1\)

สมมติว่า \(|x|_1<1\) บอกเป็นนัยเสมอว่า \(|x|_2<1\) มันตามมาว่า \(|x|_1>1\) บอกเป็นนัยว่า \(|x|_2>1\) เพราะ \(|x^{-1}|_1<1\) เนื่องจาก \(|\cdot|_1\) ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย จึงมี \(x_0 \in K\) เช่นนั้น \(|x_0|_1>1\) ใส่ \(a=|x_0|_1\) และ \(b=|x_0|_2\) และปล่อยให้ \(\lambda=\log(b)/\log(a)=\log_a{b}\) เลือก \(x \in K\) เช่นนั้น \(|x|_1 \ge 1\) จากนั้น \(|x|_1=|x_0|_1^\alpha\) สำหรับบางคน \(\alpha \ge 0\) เราแสดงว่า \(|x|_2=|x_0|_2^\alpha\) โดยการประมาณ \(\alpha\) ด้วยจำนวนตรรกยะ ถ้า \(m,n\) เป็นจำนวนเต็มบวกเช่นนั้น \(m/n>\alpha\) ดังนั้น \(|x|_1<|x_0|_1^{m/n}\) ดังนั้น \(|x ^n/x_0^m|_1<1\) มันตามมาว่า \(|x^n/x_0^m|_2<1\) , ie \(|x|_2<|x_0|^{m/n}_2\) ถ้า \(m/n<\alpha\) เราก็จะได้ \(|x|_2>|x_0|_2^{m/n}\) ในทำนองเดียวกัน ดังนั้น \(|x|_2=|x_0|_2^\alpha\) ดังนั้น

\[|x|_2=\left(|x_0|_1^{\log_ab}\right)^\alpha=|x_0|_1^{\alpha\lambda}=|x|_1^\lambda.\] 3 หมายถึง 1 เกิดขึ้นทันทีเพราะ \(f(x)=x^\lambda\) ไม่เปลี่ยนขีดจำกัด \(\สี่เหลี่ยม\)

ถ้า \(|\cdot|_1=|\cdot|_2^\lambda\) , \(|x+y|_1\le c_1\max\{|x|_1,|y|_1\}\) และ \ (|x+y|_2 \lec_2\max\{|x|_2,|y|_2\}\) จากนั้น \(c_1\) จะถูกแทนที่ด้วย \(c_2^\lambda\) ถ้า \(c_2 >2\) เราก็สามารถเลือก \(\lambda\) ที่เล็กพอที่ \(c_2^\lambda \le 2\) ดังนั้น

ข้อเสนอที่ 3 ค่าสัมบูรณ์แต่ละค่ามีค่าเท่ากันค่าหนึ่งที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราสามารถศึกษากรณีที่ \(c=1\) ในคำจำกัดความของค่าสัมบูรณ์

ความไม่เท่าเทียมกันของอุลตร้าเมตริก

ข้อเสนอที่ 4 ให้ \(|\cdot|\) เป็นค่าสัมบูรณ์บน \(K\) จากนั้นข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่า:

  1. \(|\cdot|\) ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของอัลตราเมตริก: \(|x+y|\le\max\{|x|,|y|\}\)

  2. \(|\tilde{n}|\le 1\) สำหรับทุกคน \(n \in \mathbb{N}\)

การพิสูจน์. สมมติว่า \(|x+y| \le\max\{|x|,|y|\}\) จากนั้น \(|\tilde{1}|=|1|=1\) และ \(|\tilde{2}|=|1+1|=\max\{|1|,|1|\}=1 \).สมมติว่า \(|\tilde{n}|\le 1\) ,then

\[|\widetilde{n+1}|=|\tilde{n}+1|\le\max\{|\tilde{n}|,|1|\}\le 1.\]

ในทางกลับกัน สมมติว่า \(|\tilde{n}| \le1\) for all \(n\) แทนที่ค่าสัมบูรณ์ด้วยอสมการสามเหลี่ยมหนึ่งอันที่น่าพอใจหากจำเป็น มันตามมาว่า \[\begin{aligned}|a+b|^n &\le \sum_{k=0}^{n}\left|{n \choose k}a^kb^{nk}\right| \\ &\le \sum_{k=0}^{n}\left|\widetilde{n \choosek}\right||a|^k|b|^{nk} \\ &\le (n+1 )\max\{|a|^n,|b|^n\} \\ &=(n+1)\max\{|a|,|b|\}^n.\end{aligned}\]

ดังนั้น \(|a+b| \le\sqrt[n]{n+1}\max\{|a|,|b|\}\) ผลลัพธ์ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า \(\sqrt[n]{n+1} \to 1\) เป็น \(n \to \infty\) \(\สี่เหลี่ยม\)

คำจำกัดความ 3 ค่าสัมบูรณ์เรียกว่า non-Archimedean หรือ ultrametric หาก เงื่อนไขในข้อเสนอ 4 เป็นไปตามเงื่อนไข มิฉะนั้นจะเรียกว่าอาร์ คิ มีดีนหรือ สามัญ

ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์เล็กๆ น้อยๆ เป็นค่าอุลตร้าเมตริก แต่เราไม่สนใจเรื่องนั้น สิ่งที่น่าสนใจคือ \(p\)-adic ค่าสัมบูรณ์นั้นไม่ใช่อาร์คิมีดีน

มีการจำแนกประเภทที่สอง – ทฤษฎีบทของ Ostrowski ซึ่งระบุว่าสถานที่ที่ไม่สำคัญทั้งหมดบน \(\mathbb{Q}\) สามารถแสดงด้วย \(|\cdot|_\infty\) หรือ \(|\cdot|_p\) สำหรับ ไพรม์บางตัว \(p\) สำหรับสาขาอื่นๆ เรามีแอนะล็อกที่น่าสนใจทีเดียว แต่เรามีพื้นที่ไม่เพียงพอที่จะรวมหลักฐานเหล่านี้ ผู้อ่านสามารถตรวจสอบ

  • ทฤษฎีบท 4.2 ของหมายเหตุนี้สำหรับทฤษฎีบทสามัญของ Ostrowski บน \(\mathbb{Q}\)

  • เอกสารอธิบายทฤษฎีบทของ Ostrowski เกี่ยวกับช่องตัวเลข

  • เอกสารอธิบายนี้สำหรับทฤษฎีบทของ Ostrowski เกี่ยวกับฟิลด์ฟังก์ชัน

การขยายเขตข้อมูลและค่าสัมบูรณ์

เมื่อเรามีส่วนขยายฟิลด์ \(L/K\) เราต้องการทราบว่าค่า anabsolute บน \(L\) จะถูกจำกัดไว้ที่ \(K\) อย่างไร หรือในทางกลับกัน Howan ค่าสัมบูรณ์สามารถขยายเป็น \(L \) สำหรับค่าสัมบูรณ์นั้น เราสามารถดำเนินการเสร็จสิ้นได้เช่นเดียวกับการคำนวณเบื้องต้น: \(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\)

คำจำกัดความ 4 ฟิลด์ \(K\) สมบูรณ์ ด้วยความเคารพต่อ \(|\cdot|\) ถ้า \(K\) เป็นช่องว่างเมตริกที่สมบูรณ์เมื่อเทียบกับเมตริก \(d(x,y)=|xy|\ ) .

ในการใช้อุปกรณ์ที่คล้ายกัน เราจะกำหนดความสมบูรณ์ในรูปแบบที่คล้ายคลึงกัน ให้ \(\mathscr{P}_F\) เป็นเซตของสถานที่ทั้งหมดของฟิลด์ \(F\) แต่ละสถานที่ \(v\) บน \(L\) ทำให้เกิดสถานที่ \(u=v|_F\) บน \(K\) ดังนั้นเราจึงมีข้อ จำกัด ที่เกิดจากแผนที่:

\[\begin{aligned} r:\mathscr{P}_L &\to \mathscr{P}_K \\ v &\mapsto u\end{aligned}\] จากตำแหน่งของ \(L\) ไปยังตำแหน่งของ \ (เค\) .

คำจำกัดความ 5. ให้ \(L/K\) เป็นส่วนขยายฟิลด์และ \(u \in \mathscr{P}_K\) ถ้า \(v \in r^{-1}(u)\) เราเขียน \(v|w\) แล้วบอกว่า \(v\) แบ่ง \(w\) หรือ \(v\) วางทับ \( ยู\).

คำนิยาม 6. ความสมบูรณ์ของ \(K\) เกี่ยวกับสถานที่ \(v\) เป็นฟิลด์ส่วนขยาย \(K_v\) ที่มีสถานที่ \(w\) เช่นนั้น

  1. \(w|v\) .

  2. โทโพโลยีของ \(K_v\) ที่เหนี่ยวนำโดย \(w\) เสร็จสมบูรณ์

  3. \(K\) เป็นเซตย่อยหนาแน่นของ \(K_v\)

มีนามสกุลอยู่และมีเอกลักษณ์เฉพาะสำหรับ isomorphism (หากต้องการดูสิ่งนี้ ให้แก้ไขการพิสูจน์เมื่อ \(\mathbb{Q}\) เสร็จสมบูรณ์) ตัวอย่างคลาสสิกแน่นอน \(K=\mathbb{Q}\) และ \(v\) แสดงโดย \(|\cdot|_\infty\) และ \(K_v\) จะเป็น \(\mathbb {R}\) ด้วยค่าสัมบูรณ์ธรรมดา ด้วยความช่วยเหลือของ Gelfand-Marzur เราสามารถแสดงให้เห็นว่าเขตข้อมูลที่สมบูรณ์ของ Archimedean เท่านั้นคือ \(\mathbb{Q}\) และ \(\mathbb{C}\) ซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของ \(\mathbb{Q}\) และ \(\mathbb{Q}(i)\)

สำหรับ \(|\cdot|_p\) บน \(\mathbb{Q}\) เรามีความสมบูรณ์ \(\mathbb{Q}_p\) (\(p\)-adic numbers) คอมแพคย่อย \(\mathbb{Z}_p\) (\(p\)-adic integers) คือการปิดของ \(\mathbb{Z}\) ใน \(\mathbb{Q}_p\) ถ้า \(p,q\) เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันสองค่า ดังนั้น \(\mathbb{Q}_p\) จะไม่เป็นค่า isomorphic กับ \(\mathbb{Q}_q\) เพราะจะเสร็จสมบูรณ์โดยใช้สองตำแหน่งที่แตกต่างกัน

เป็นตัวอย่างที่โดดเด่นใน \(\mathbb{Q}_2\) เรามี \[\sum_{k=0}^{\infty}2^k=-1\]

เพราะ

\[\lim_{n \to \infty}\left|\sum_{k=0}^{n}2^k+1\right|_2=\lim_{n \to\infty}|2^n-1 +1|_2=\lim_{n \to \infty} 2^{-n}=0.\]

ไม่มีอะไรที่ข้ามหรือเข้าใจผิดเนื่องจากวิดีโอ Numberphile ใน “identity” \(1+2+\dots=-\frac{1}{12}\)

ค่าสัมบูรณ์และ VectorSpaces

เพื่อสรุปโพสต์นี้และเตรียมพร้อมสำหรับการโพสต์ในอนาคต เราแสดงให้เห็นว่าค่าสัมบูรณ์ทำงานได้ดีกับบรรทัดฐานเหนือพื้นที่เวกเตอร์ (อย่าสับสนกับบรรทัดฐานในทฤษฎีกาลัวส์)

คำจำกัดความ 7. ให้ \(K\) เป็นฟิลด์ที่มีค่าสัมบูรณ์ \(|\cdot|\) และ \(E\) เป็นช่องว่างเวกเตอร์เหนือ \(K\) บรรทัดฐาน \(E\to \mathbb{R}\) เข้ากันได้กับ \(|\cdot|\) เป็นฟังก์ชัน \(\|\cdot\|\) ที่ตอบสนอง

  1. \(\|\xi\|\ge 0\) สำหรับทุกคน \(\xi \in E\) และ \(\|\xi\|=0\) ถ้าหากว่า \(\xi=0\) .

  2. สำหรับ \(x \in K\) และ \(\xi \in E\), \(\|x\xi\|=|x|\|\xi\|\) ทั้งหมด

  3. \(\|\xi_1+\xi_2\| \le\|\xi_1\|+\|\xi_2\|\) สำหรับทุกคน \(\xi_1,\xi_2 \in E\)

สองบรรทัดฐาน \(\|\cdot\|_1\) และ \(\|\cdot\|_2\) มี ค่าเท่ากัน หากมีตัวเลข \(C_1,C_2>0\) เช่นนั้นสำหรับทุกคน \(\xi \in E\) เรามี

\[C_1\|\xi\|_1 \le \|\xi\|_2 \le C_2 \|\xi\|_1.\]

นี่คือความสัมพันธ์สมมูล และเราได้เห็นพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่เป็นองค์ประกอบและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันแล้ว ซึ่งเทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่า \(\|\cdot\|_1\) และ \(\|\cdot\|_2\) ทำให้เกิดโทโพโลยีเดียวกัน เมื่อมิติของ \(E\) เป็นอนันต์ สิ่งต่าง ๆ ก็ยุ่งยาก เช่น เราอาจต้องการสิ่งต่างๆ เช่น ทฤษฎีบท openmapping สำหรับช่องว่างมิติจำกัด เราสามารถเลือกพื้นฐาน \(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n \in E\) เพื่อให้ทุก \(\xi \in E\) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

\[\xi=x_1\xi_1+\cdots+x_n\xi_n,\quad x_1,\dots,x_n \in K.\]

เราสามารถกำหนดบรรทัดฐานเช่น \(\|\xi\|_1=|x_1|+\dots+|x_n|\), \(\|\xi\|_2=\sqrt{|x_1|^2+\dots+|x_n |^2}\)และ \(\|\xi\|_\infty=\max\{|x_1|,\dots,|x_n|\}\)ในพีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น เรารู้ว่าพวกมันเท่ากัน ตอนนี้ทุกอย่างเหมือนกันในสนาม

ข้อเสนอที่ 5 ให้ \(K\) เป็นฟิลด์ที่สมบูรณ์ภายใต้ค่าที่ไม่ซับซ้อน \(|\cdot|\) และให้ \(E\) เป็นช่องว่างมิติ จำกัด \(K\) จากนั้นสองบรรทัดฐานบน \(E\) ที่เข้ากันได้กับ \(|\cdot|\) จะเทียบเท่า

การพิสูจน์. เพียงพอที่จะแสดงว่า \(E \cong K \times \cdots \times K\) โทโพโลยีอยู่ภายใต้บรรทัดฐานที่เข้ากันได้กับค่าสัมบูรณ์ ใส่ \(n=\dim E\) ถ้า \(n=1\) เป็นเรื่องเล็กน้อย ดังนั้นสมมติว่า \(n \ge 2\) เราต้องแสดงว่าได้รับพื้นฐาน \(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n\),

\[\xi^{(\nu)} = x_1^{(\nu)}\xi_1+\cdots+x_n^{(\nu)}\xi_n\]

เป็นลำดับ Cauchy (เทียบกับบรรทัดฐาน) ใน \(E\) เฉพาะเมื่อแต่ละลำดับ \(n\) \(x_i^{(\nu)}\) เป็นลำดับ Cauchy ใน \(K\ ). พอเพียงแล้วที่จะถือว่า \(\xi^{(\nu)}\) มาบรรจบกันเป็น \(0\) เป็น \(\nu \to\infty\) (ในขณะที่เราสามารถแทนที่ \(\xi^{(\nu )}\) ด้วย \(\xi^{(\nu)}-\xi^{(\mu)}\) สำหรับ \(\nu,\mu \to \infty\) หากจำเป็น) จากนั้นเราต้องแสดงว่าแต่ละ \(x_i^{(\nu)}\) มาบรรจบกันเป็น \(0\) เช่นกัน

สมมติว่านี่เป็นเท็จสำหรับ \(x_1^{(\nu)}\) จากนั้นจะมีตัวเลข \(a>0\) ที่ \(|x_1^{(\nu)}|>a\) เมื่อ \(\nu\) มีขนาดใหญ่เพียงพอ ดังนั้นสำหรับลำดับรองของ \((\nu)\) , \(\xi^{(\nu)}/x_1^{(\nu)}\) มาบรรจบกันเป็น \(0\) และเราสามารถเขียน

\[\frac{\xi^{(\nu)}}{x_1^{(\nu)}}-\xi_1=\frac{x_2^{(\nu)}}{x_1^{(\nu)} }\xi_2+\dots+\frac{x_n^{(\nu)}}{x_1^{(\nu)}}\xi_n.\]

เมื่อถึงขีดจำกัด เราเห็น \(\xi_1\) เป็นการรวมเชิงเส้นของ \(\xi_2,\dots,\xi_n\) และนี่มันไร้สาระ \(\สี่เหลี่ยม\)

เราต้องการข้อเสนอนี้เพื่อทำงานกับส่วนขยายฟิลด์ที่มีขอบเขตจำกัด

อ้างอิง

  1. Erico Bombieri และ Walter Gubler ความ สูงใน DiophantineGeometry

  2. Serge Lang พีชคณิตทบทวน ฉบับที่สาม

  3. Dinakar Ramakrishman และ Robert J. Valenza, การ วิเคราะห์ฟูริเยร์ในฟิลด์ตัวเลข

การแทนแบบลดทอนไม่ได้ของ SO(3) และ Laplacian

avatar.png

บทนำ

ใน โพสต์ ก่อนหน้าของเราเกี่ยวกับการลดทอนของ \(SU(2)\) และ \(SO(3)\) การแทนค่าที่ไม่ลดทอนของ \(SU(2)\) ถูกกำหนดอย่างชัดแจ้ง: \(V_n=\operatorname{Sym }^n\mathbb{C}^2\), และการแสดงแทนไม่ได้ \(W_n\) ของ \(SO(3)\) สอดคล้องกับ \(V_{2n}\)

ผลลัพธ์เป็นที่น่าพอใจสำหรับ \(SU(2)\) แต่ไม่ใช่สำหรับ \(SO(3)\) เราหวังว่าจะมีส่วนเกี่ยวข้องกับ \(\mathbb{R}^3\) แต่ \(V_{2n}\) กลับไม่เป็นเช่นนั้น ในบทความนี้ เราจะนำเสนอลักษณะที่ชัดเจนของ \(W_n\)

โพสต์นี้จะค่อนข้างง่ายต่อการอ่าน นอกเหนือจากพื้นฐานภาษาของทฤษฎีการแสดงแทน (ของกลุ่มโกหก) จำเป็นต้องมีแคลคูลัสหลายตัวแปรเท่านั้น

กลยุทธ์และสนามเด็กเล่นทั่วไป

เช่นเดียวกับในโพสต์ที่แล้ว เรากำหนดสนามเด็กเล่นที่ดีก่อนแล้วจึงแสดงให้เห็นว่านี่คือทั้งหมดที่เราต้องการ สนามเด็กเล่นที่นี่คือ

\[P_\ell=\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R}\operatorname{Sym}^\ell\mathbb{R}^3.\]

เหตุผลสำหรับผลคูณสมมาตรของ \(\mathbb{R}^3\) นั้นง่ายมาก เราจะทำงานกับพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกัน เราทำให้พื้นที่นี้ซับซ้อนเพื่อให้แน่ใจว่าเราจะไม่กังวลเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะ (ของ \(SO(3)\)) กล่าวอีกนัยหนึ่ง \(P_\ell\) คือปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนของพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกันในตัวแปรสามตัว ซึ่งถูกมองว่าเป็นฟังก์ชันใน \(\mathbb{R}^3\)

จำได้ว่า

\[\dim \operatorname{Sym}^\ell \mathbb{R}^3 = {\ell+3-1 \choose\ell}={\ell + 2 \choose \ell}={\ell+2 \ เลือก2}=\frac{(\ell+2)(\ell+1)}{2}.\]

ดังนั้น \(\dimP_\ell=\frac{(\ell+2)(\ell+1)}{2}\) เป็นพื้นที่เวกเตอร์ \(\mathbb{C}\)

เราจะดึงสิ่งที่เราต้องการออกจากช่องว่างของแบบฟอร์มนี้

การเป็นตัวแทนของ SO(3) และ Laplacian

การกระทำของ \(SO(3)\) หรือ \(GL(3,\mathbb{R})\) โดยทั่วไปใน \(P_\ell\) ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน Forany \(A \in GL(3,\mathbb{R})\) และ \(f \in P_\ell\) เรากำหนด

\[(Af)(x)=f(xA).\]

ที่นี่ \(x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) และ \(xA\) เป็นผลิตภัณฑ์ของ \(x \) และ \(A\) ในแง่ของการคูณเมทริกซ์ เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าสิ่งนี้ก่อให้เกิดการเป็นตัวแทนกลุ่ม

เพื่อศึกษาการแทนค่านี้ เราจำเป็นต้องค้นหาสัณฐานบางอย่าง \(P_\ell \to P_\ell\) ตัวเลือกที่ชัดเจนที่สุดคือ Laplacian ซึ่งให้โดย

\[\Delta:f \mapsto \left(\frac{\partial^2}{\partialx_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2} {\partialx_3^2}\right)f.\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง \(\Delta\) เป็นร่องรอยของเมทริกซ์ Hessian ของ \(f\) .Trace ใช้ในทฤษฎีการเป็นตัวแทนเพื่อกำหนดอักขระดังนั้นจึงมีโอกาสพบการเชื่อมต่อที่ดีกับการเป็นตัวแทนของ \(SO(3 )\)

เราจะไม่ลืม เคอร์เนล ของ Laplacian ซึ่งเรียกว่า พหุนามฮาร์โมนิก ของดีกรี \(\ell\) ในบริบทนี้:

\[\mathfrak{H}_\ell = \{f \in P_\ell:\Delta{f}=0\}.\]

เนื่องจากฟังก์ชันใน \(P_\ell\) มีความเหมือนกัน ค่าของ \(f\) ที่จุดหนึ่ง \(x\) ถูกกำหนดโดยค่าที่ \(\frac{x}{\|x\|} \in S^ 2\) , หน่วยทรงกลม ดังนั้นเราจึงเรียก \(\mathfrak{H}_\ell\) ฮาร์โมนิก ทรงกลม ของดีกรี \(\ell\) และเราจำเป็นต้องทราบค่าโมฆะของ \(\Delta\) อย่างแน่นอน

บทแทรก 1. ขนาดของ \(\mathfrak{H}_\ell\) คือ \(2\ell+1\)

การพิสูจน์. ก่อนอื่นเราทำการขยายเทย์เลอร์ของ \(f \in P_\ell\) เทียบกับตัวแปรแรก \(x_1\) :

\[f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{k=0}^{\ell}\frac{f_k(x_2,x_3)}{k!}x_1^k.\]

ที่นี่ \(f_k(x_2,x_3)\) มีความสม่ำเสมอของระดับ \(\ell-k\) ใน \(x_2,x_3\) ดังนั้นเราจึงต้องศึกษาเทอมทางขวามือเพียงเทอมเดียว

\[\begin{aligned}\Delta \frac{f_k(x_2,x_3)}{k!}x_1^k &=\frac{f_k(x_2,x_3)}{k!}k(k-1)x_1^ {k-2}+\frac{x_1^k}{k!}\left(\frac{\partial^2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^ 2}\right) \\&=\frac{f_k(x_2,x_3)}{(k-2)!}x_1^{k-2}+\frac{x_1^k}{k!}\left(\ frac{\partial^2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^2}\right)\end{aligned}\] เศษส่วน

ตอนนี้เราสามารถรวมมันเข้าด้วยกันอย่างเป็นธรรมชาติ:

\[\Delta f =\sum_{k=0}^{\ell-2}\frac{f_{k+2}}{k!}x_1^{k}+\sum_{k=0}^{\ ell}\frac{x_1^k}{k!}\left(\frac{\partial^2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^2}\right )\]

ลองสำรวจเทอมสุดท้ายกันสักหน่อย ถ้า \(k=\ell-1\) หรือ \(\ell\) ดังนั้น \(f_k\) จะอยู่ในลำดับ \(0\) และ \(1\) และผลที่ตามมาคืออนุพันธ์อันดับสองคือ \(0\) . ดังนั้นเราจึงเขียน

\[\Delta f =\sum_{k=0}^{\ell-2}\frac{x_1^k}{k!}\left[f_{k+2}+\left(\frac{\partial^ 2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^2}\right)\right]\]

ดังนั้น \(\Delta{f}=0\) if andonly if

\[f_{k+2}+\left(\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2f_k}{\partial x_3^2}\right)=0. \]

ดังนั้น เมื่อ กำหนด \(f_0\) และ \(f_1\) แล้ว \(f_k\) ทั้งหมดจะถูกกำหนดและ \(f\) เองจะเป็นเช่นนั้น ดังนั้น

\[\dim \mathfrak{H}_\ell=\dim P_\ell^2+\dim P_{\ell-2}^2\]

โดยที่ \(P_k^2\) คือช่องว่างของพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีตัวแปรสองตัว ดังนั้นจึงเป็น isomorphic ถึง \(\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R}\operatorname{Sym}^k\mathbb{R}^2\ ) ดังนั้นเราจึงมี

\[\dim P_\ell^2 = {\ell+2-1 \choose \ell}=\ell+1, \quad \dim P_{\ell-1}^2= \ell.\]

เพราะฉะนั้น

\[\dim \mathfrak{H}_\ell=2\ell+1.\]

\(\สี่เหลี่ยม\)

จำได้ว่า \(\dim W_n=2n+1\) นี่ไม่ควรเป็นเรื่องบังเอิญ และเราจะดำดิ่งลงไปเดี๋ยวนี้ ในการทำเช่นนี้ เราจะสร้างการเชื่อมต่อระหว่าง \(\Delta\) และ \(SO(3)\) ทันที

เล็มมา 2 การกระทำของ Laplacian บน \(C^\infty(\mathbb{R}^3;\mathbb{C})\) (ซึ่งมี \(P_\ell\) สำหรับทุกคน \(\ell \ge 0 \)) เดินทางด้วยการกระทำของ \(SO(3)\) เช่น \(\Delta\) คือ \(SO(3)\)-เทียบเท่า

การพิสูจน์. การตรวจสอบตามปกติจริงๆ \(\สี่เหลี่ยม\)

เป็นผลให้เราได้ผลลัพธ์ที่สำคัญมาก:

ทฤษฎีบท 1 ช่องว่าง \(\mathfrak{H}_\ell\) เป็นสเปซย่อยที่ไม่คงที่ของ \(P_\ell\)

ตัวละครของ SO(3)

เราเริ่มต้นด้วยการสังเกตเมทริกซ์โดยตรงใน \(SO(3)\) ที่ ‘ลดระดับ’ การหมุนเป็นระนาบ:

เล็มมา 2. ทุกองค์ประกอบใน \(SO(3)\) คอนจูเกตกับ \(R(t)\) โดยที่

\[R(t)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0&\cos{t}&-\sin{t} \\0&\sin{t}&\cos{t} \end{pmatrix }.\]

การพิสูจน์. เลือกใด ๆ \(A \inSO(3)\) ก่อนอื่นเราแสดงว่า \(A\) มีค่าลักษณะเฉพาะ \(1\) บันทึก

\[\begin{aligned}\det (IA)&=\det(AA^TA) \\ &=\det(A(A^TI)) \\ &=\det(A)\det(A^TI) ) \\ &=\det(AI) \\ &=-\det(IA)\end{aligned}\]

ดังนั้นเราจึงมี \(\det(IA)=0\) ดังนั้น เราสามารถเลือก \(v_1 \in \ker(IA)\) ด้วย norm \(1\) เลือก \(v_2 \in \mathbb{R}^3\) pedicular ถึง \(v_1\) ด้วย norm \(1\) และ \(v_3=v_1\times v_2\) จากนั้น \(\{v_1,v_2,v_3\}\) เป็นพื้นฐานปกติ และ \(V=(v_1,v_2,v_3)\) อยู่ใน \(SO(3)\) \(A\) จึงคอนจูเกตกับ

\[V^{-1}AV=R=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0&a&b \\ 0&c&d \end{pmatrix} \in SO(3).\]

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง \(R \in SO(3)\) ก็หมายความว่า

\[\begin{cases}a^2+b^2=1 \\b^2+d^2=1 \\a^2+c^2=1 \\b^2+d^2=1 \ \ad-bc=1\end{cases}\]

การแก้ระบบสมการนี้ เราจะต้องมี \(a=d\), \(b=-c\) เพื่อให้เราสามารถกำหนด \(a=\cos{t}\) และ \(c=\sin{t}\ ) และผลลัพธ์จะตามมา \(\สี่เหลี่ยม\)

เนื่องจากอักขระไม่แปรผันภายใต้การผันคำกริยา การศึกษาอักขระของ \(SO(3)\) จึงลดลงเป็น \(T\) กลุ่มย่อยที่สร้างโดยเมทริกซ์ของแบบฟอร์ม \(R(t)\) แต่การคำนวณทางตรงเป็นฝันร้าย ดังนั้นเราจึงพยายามอย่างเต็มที่ที่จะทำมันให้สวยงาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรากลับไปที่การแสดงค่า \(SU(2)\) ที่ลดทอนไม่ได้ (อย่างไรก็ตาม มีเพียงสองตัวแปรเท่านั้น) Canonical map \(SU(2) \toSO(3)\) มีค่าเฉพาะ:

\[e(t)=\begin{pmatrix}\exp(it) & 0 \\0 & \exp(-it)\end{pmatrix} \mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos{2t} & -\sin{2t} \\0 & \sin{2t} & \cos{2t}\end{pmatrix}=R(2t).\]

สามารถอ้างถึงเอกสารนี้สำหรับแผนที่ด้านบน การศึกษาตัวละครของเราลดลงเหลือ \(SU(2)\), เพราะ \(\chi_{W_n}(R(t))=\chi_{V_{2n}}(e(t/2))\) โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าอักขระไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ isomorphism และว่า \(V_{2n} \cong W_n\) เราสามารถคำนวณได้ว่า

\[\chi_{V_{2n}}(e(t/2))=\sum_{k=0}^{2n}\exp\left(i(2n-2k)\frac{t}{2}\ right)=\sum_{k=0}^{2n}\exp(i(nk)t).\]

ตอนนี้เราพร้อมแล้วสำหรับการแสดง \(SO(3)\) ที่ลดทอนไม่ได้

การกำหนด SO(3) -โมดูลที่ลดไม่ได้ทั้งหมด

เนื่องจากโดยทั่วไปเรามี \(\dim\mathfrak{H}_\ell=\dim W_\ell\) จึงเป็นธรรมดาที่จะเชื่อว่า \(\mathfrak{H}_\ell \cong W_\ell\) อยู่ใน ความรู้สึกของ \(SO(3)\) -modules และทฤษฎีบทต่อไปนี้ตอบคำถามนี้อย่างมั่นใจ

ทฤษฎีบท 2 ช่องว่าง \(\mathfrak{H}_\ell\) เป็น isomorphic ถึง \(W_\ell\) กล่าวอีกนัยหนึ่ง \(SO(3)\)-โมดูลที่ลดไม่ได้จะถูกกำหนดโดยฮาร์โมนิกทรงกลม

การพิสูจน์. เราจะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าทุกกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดนั้นลดขนาดลงได้อย่างสมบูรณ์ (อย่างแรกเลย \(SO(3)\) มีขนาดกะทัดรัดเนื่องจากเป็นกลุ่มปิดของเอกสารนี้ ในทางกลับกัน ข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่ม Lie แบบกะทัดรัดทุกกลุ่มสามารถลดจำนวนลงได้อย่างสมบูรณ์ในหัวข้อที่ 3 ของเอกสารนี้

ดังนั้นเราจึงมี

\[\mathfrak{H}_\ell= \bigoplus_{\nu}W_{n_\nu}\]

โดยที่แต่ละ \(W_{n_\nu}\) เป็นตัวแทนของ \(SO(3)\) การใช้มิติทั้งสองด้านyields

\[2\ell+1 = \sum_{\nu}(2n_\nu+1).\]

เพื่อพิสูจน์ว่า \(\mathfrak{H}_\ell=W_{\ell}\) ก็เพียงพอที่จะแสดงว่า \(n_\nu \ge \ell\) forsome \(n_\nu\) ในทางกลับกัน, การใช้อักขระทั้งสองข้างที่เราเห็น

\[\chi_{\mathfrak{H}_\ell}(R(t))=\sum_{k}\exp(ikt) \quad |k| \le \maxn_\nu.\]

เราไม่ทราบการรวมกันของ \(k\) แต่งานของเราเสร็จแล้วถ้าเราสามารถแสดงให้เห็นว่า \(R(t)\) มีค่าเฉพาะ \(e^{-i\ell t}\)

ในการทำเช่นนี้ เราสามารถพิจารณา vector \(f(x_1,x_2,x_3)=(x_2+ix_3)^\ell \in\mathfrak{H}_\ell\) นี่เป็นเพราะสำหรับเวกเตอร์นี้ เรามี

\[\begin{aligned}(R(t)f_\ell)(t)&=\left(x_2\cos{t}+x_3\sin{t}+i(-x_2\sin{t}+x_3\ cos{t})\right)^\ell\\ &=(e^{-it}x_2+ie^{-it}x_3)^\ell \\ &=e^{-i\ell t}(x_2 +ix_3)^\ell \\ &=e^{-i\ell t}f_\ell(t).\end{aligned}\]

\(\สี่เหลี่ยม\)

จบข้อสังเกต

  • เราพบค่าลักษณะเฉพาะเพราะมันแสดงว่า \(\exp(-i\ell t)\) ปรากฏในผลรวมของ \(\chi_{\mathfrak{H}_\ell}(R(t))\) ดังนั้น \(|-\ell|=\ell \le \max n_\nu\) . เนื่องจาก \(\{n_\nu\}\) มีขอบเขต ค่าสูงสุดสามารถบรรลุได้ ดังนั้นการโต้แย้งของเราเกี่ยวกับมิติจึงสิ้นสุดลง

  • การแทนค่าของ \(U(2)\) สามารถอนุมานเชิงพีชคณิตได้ เพียงสังเกตว่า \(U(2) = (S^1 \times SU(2))/H\) โดยที่ \(H =\{(1,ฉัน),(-1,-I)\}\) เราต้องการอาร์กิวเมนต์คู่คี่เช่นเดียวกับที่เราทำกับ \(SO(3)\)

  • ในทำนองเดียวกัน เนื่องจาก \(O(3)=SO(3) \times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) เราสามารถอนุมานการแสดงที่ลดไม่ได้ของ \(O(3)\) ในลักษณะเดียวกัน